(IME-81) Seja M=\left(m_{1 \mid}\right) uma matriz quadrada real n \times n de termos positivos. Define-se o "permanente de M " como permM =\sum_{S} m_{1+(1)} . m_{2+(2)} \ldots m_{n+(n)} onde S é o conjunto das permutações (t(1), t(2), \ldots, t(n)) de \{1,2, \ldots, n\}. A matriz \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9\end{array}\right] tem, por exemplo, como permanente 1.5 .9+4.8 .3+2.6 .7+3.5 .7 +2.4 .9+1.6 .8. Seja a matriz n \times n, H\left(h_{\mathrm{ij}}\right) onde h_{i \mathrm{i}}=\mathrm{i}(\mathrm{j}+1). Calcule o permanente de H.

Passo 1

O enunciado nos dá a definição da permanente de uma matriz quadrada M=(m_{ij}) de ordem n como
\mathrm{perm}(M)\;=\;\sum_{t\in S_n}\;\prod_{i=1}^{n}m_{\,i,t(i)},
onde S_n é o conjunto de todas as permutações de \{1,2,\dots,n\}. Aqui, a matriz H=(h_{ij}) é dada por
h_{ij}=i\,(j+1),
e queremos calcular \mathrm{perm}(H).

Passo 2

Cada termo da soma na permanente de H é
\prod_{i=1}^{n}h_{\,i,t(i)} \;=\; \prod_{i=1}^{n}\bigl[i\,(t(i)+1)\bigr] \;=\; \Bigl(\prod_{i=1}^{n}i\Bigr)\;\Bigl(\prod_{i=1}^{n}(t(i)+1)\Bigr).
Como \prod_{i=1}^{n}i = n!, segue que
\prod_{i=1}^{n}h_{\,i,t(i)} = n!\;\prod_{i=1}^{n}(t(i)+1).
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\mathrm{perm}(H) =\sum_{t\in S_n}\prod_{i=1}^{n}h_{\,i,t(i)} =n!\;\sum_{t\in S_n}\prod_{i=1}^{n}(t(i)+1).

Passo 3

Note que para qualquer permutação t\in S_n temos
\prod_{i=1}^{n}(t(i)+1) =\prod_{k=1}^{n}(k+1) =2\cdot3\cdots(n+1) =(n+1)!.
Como existem n! permutações em S_n, o somatório fica
\sum_{t\in S_n}\prod_{i=1}^{n}(t(i)+1) =n!\times (n+1)!.

Passo 4

Substituindo esse resultado em
\mathrm{perm}(H) =n!\;\sum_{t\in S_n}\prod_{i=1}^{n}(t(i)+1),
obtemos
\mathrm{perm}(H) = n!\;\bigl[n!\,(n+1)!\bigr] = (n!)^2\,(n+1)!.

Resposta

\mathrm{perm}(H) = (n!)^2\,(n+1)!.
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