(IME-86/87) Seja ABCD um quadrilátero circunscritivel. Demonstre que os círculos inscritos nos triângulos ABC e ACD têm, com a diagonal AC, um mesmo ponto em comum.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um quadrilátero
que admite uma incírculo (é circunscritível) e queremos mostrar que, ao traçar a diagonal
, o círculo inscrito em
e o círculo inscrito em
são tangentes a
exatamente no mesmo ponto. O conteúdo usado será a propriedade dos comprimentos de tangência de uma incírculo em um triângulo e a condição para que um quadrilátero seja circunscritível.
Passo 2
Seja
o incentro de
e
o ponto de tangência desse incírculo com
. Denotemos o semiperímetro de
por
É conhecido que o comprimento
, ou seja, a distância de
até o ponto de tangência em
, vale
Analogamente, seja
o incentro de
e
o ponto de tangência desse incírculo com
. Seu semiperímetro é
e
Passo 3
Como
é circunscritível, vale a condição clássica de Pitot estendida:
Dessa igualdade segue
Passo 4
Agora calculamos explicitamente:
Usando
vemos que
logo
Isto significa que os pontos
e
coincidem sobre
.
Resposta
Os círculos inscritos em
e em
são tangentes à diagonal
no mesmo ponto.