(IME-86/87) Seja ABCD um quadrilátero circunscritivel. Demonstre que os círculos inscritos nos triângulos ABC e ACD têm, com a diagonal AC, um mesmo ponto em comum.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um quadrilátero ABCD que admite uma incírculo (é circunscritível) e queremos mostrar que, ao traçar a diagonal AC, o círculo inscrito em \triangle ABC e o círculo inscrito em \triangle ACD são tangentes a AC exatamente no mesmo ponto. O conteúdo usado será a propriedade dos comprimentos de tangência de uma incírculo em um triângulo e a condição para que um quadrilátero seja circunscritível.

Passo 2

Seja I_1 o incentro de \triangle ABC e T_1 o ponto de tangência desse incírculo com AC. Denotemos o semiperímetro de \triangle ABC por
s_1 = \frac{AB + BC + CA}{2}.
É conhecido que o comprimento AT_1, ou seja, a distância de A até o ponto de tangência em AC, vale
AT_1 = s_1 - AB.
Analogamente, seja I_2 o incentro de \triangle ACD e T_2 o ponto de tangência desse incírculo com AC. Seu semiperímetro é
s_2 = \frac{AC + CD + DA}{2},
e
AT_2 = s_2 - AD.

Passo 3

Como ABCD é circunscritível, vale a condição clássica de Pitot estendida:
AB + CD = BC + DA.
Dessa igualdade segue
BC - AB = CD - AD.

Passo 4

Agora calculamos explicitamente:
s_1 - AB = \frac{AB + BC + CA}{2} - AB = \frac{BC + CA - AB}{2},
s_2 - AD = \frac{AC + CD + DA}{2} - AD = \frac{CA + CD - AD}{2}.
Usando BC - AB = CD - AD vemos que
BC + CA - AB = CA + CD - AD,
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s_1 - AB = s_2 - AD \quad\Longrightarrow\quad AT_1 = AT_2.
Isto significa que os pontos T_1 e T_2 coincidem sobre AC.

Resposta

Os círculos inscritos em \triangle ABC e em \triangle ACD são tangentes à diagonal AC no mesmo ponto.

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