(IME-87) Sejam a, b e c números inteiros tais que
seja divisível por 109. Mostre que
também é divisível por 109 .
Passo 1
O enunciado diz que para inteiros
,
e
o número
é divisível por
. Queremos mostrar que então
também é divisível por
. O ponto chave é trabalhar com congruências módulo
.
Passo 2
Da hipótese temos
Passo 3
Como
, obtemos
Substituindo em
, vem
Passo 4
Rearranjando a congruência anterior, isolamos
:
ou seja
Passo 5
Agora basta elevar ao quadrado e somar
:
Logo
é divisível por
.