(IME-87) Sejam a, b e c números inteiros tais que 100 a+10 b+c seja divisível por 109. Mostre que (9 a-c)^2+9 b^2 também é divisível por 109 .

Passo 1

O enunciado diz que para inteiros a, b e c o número
100a + 10b + c
é divisível por 109. Queremos mostrar que então
(9a - c)^2 + 9b^2
também é divisível por 109. O ponto chave é trabalhar com congruências módulo 109.

Passo 2

Da hipótese temos
100a + 10b + c equiv 0 pmod109

Passo 3

Como 109 = 100 + 9, obtemos
100 equiv -9 pmod109
Substituindo em 100a + 10b + c, vem
-9a + 10b + c equiv 0 pmod109

Passo 4

Rearranjando a congruência anterior, isolamos 9a - c:
10b equiv 9a - c pmod109,
ou seja
9a - c equiv 10b pmod109

Passo 5

Agora basta elevar ao quadrado e somar 9b^2:
(9a - c)^2 + 9b^2 equiv (10b)^2 + 9b^2 =100b^2 + 9b^2 =109,b^2 equiv 0 pmod109
Logo (9a - c)^2 + 9b^2 é divisível por 109.

Resposta

(9a - c)^2 + 9b^2 é divisível por 109.

Exercícios de Livros Relacionados