(IME-15) A soma dos termos de uma progressão aritmética é 244 . O primeiro termo, a razão e o número de termos formam, nessa ordem, outra progressão aritmética de razào 1. Determine a razão da primeira progressão aritmética.
a) 7
b) 8
c) 9
c) 11
d) 10

Passo 1

O enunciado fala de uma progressão aritmética (PA) de primeiro termo a, razão d e número de termos n, cuja soma é 244. Além disso, os três números a, d e n, nessa ordem, formam outra PA de razão 1. Queremos encontrar a razão d da primeira PA.

Passo 2

Como (a,d,n) é uma PA de razão 1, vale
d - a = 1 \quad\text{e}\quad n - d = 1
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d = a + 1 \quad\text{e}\quad n = d + 1 = a + 2.
A soma dos n termos da primeira PA é
244 = \frac{n}{2}\bigl(2a + (n-1)d\bigr).

Passo 3

Substituindo n = a+2 e d = a+1 na fórmula da soma:
244 = \frac{a+2}{2}\bigl(2a + (a+2-1)(a+1)\bigr) = \frac{a+2}{2}\bigl(2a + (a+1)^2\bigr).
Multiplicando por 2 e expandindo:
(a+2)\bigl(a^2 + 4a + 1\bigr) = 488 \quad\Longrightarrow\quad a^3 + 6a^2 + 9a - 486 = 0.
Testando raízes inteiras, a=6 zera o polinômio. Como as outras raízes são complexas, fica a=6.

Passo 4

Com a=6, temos
d = a + 1 = 6 + 1 = 7.

Resposta

a) 7

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