(Mackenzie-05) A soma de todos os termos, que são menores que 12, da PA ( 1 / 4,3 / 4,5 / 4,7 / 4, \ldots ) é:
a) 120
b) 144
c) 150
c) 140
d) 160

Passo 1

O enunciado nos dá uma progressão aritmética (PA) cujo primeiro termo é a_1 = \tfrac14 e o segundo termo é \tfrac34, logo a diferença é d = \tfrac12. Pede-se a soma de todos os termos dessa PA que sejam menores que 12. Para resolver, vamos achar o termo geral da PA, determinar quantos termos são menores que 12 e, então, usar a fórmula da soma dos n primeiros termos.

Passo 2

O termo geral de uma PA é dado por
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Substituindo a_1 = \tfrac14 e d = \tfrac12, temos
a_n = \tfrac14 + (n-1)\,\tfrac12 = \tfrac{1 + 2(n-1)}{4} = \tfrac{2n - 1}{4}.

Passo 3

Queremos a_n < 12. Logo,
\frac{2n - 1}{4} < 12 \quad\Longrightarrow\quad 2n - 1 < 48 \quad\Longrightarrow\quad 2n < 49 \quad\Longrightarrow\quad n < 24{,}5.
Como n é inteiro, o maior n possível é n = 24.

Passo 4

Agora calculamos a soma dos 24 primeiros termos. A fórmula da soma de uma PA é
S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n).
Aqui n = 24, a_1 = \tfrac14 e
a_{24} = \frac{2\cdot24 - 1}{4} = \frac{47}{4}.
Portanto,
S_{24} = \frac{24}{2}\Bigl(\tfrac14 + \tfrac{47}{4}\Bigr) = 12 \cdot \frac{48}{4} = 12 \cdot 12 = 144.

Resposta

b) 144

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