(IME-10) Três dados iguais, honestos e com seis faces numeradas de um a seis são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de que a soma dos resultados de dois quaisquer deles ser igual ao resultado do terceiro dado.

Passo 1

O enunciado diz que lançamos simultaneamente três dados honestos de seis faces numeradas de 1 a 6 e pede a probabilidade de que a soma dos resultados de dois deles seja exatamente igual ao resultado do terceiro. Vamos resolver isso por contagem de casos no espaço amostral finito.

Passo 2

O espaço amostral consiste em todas as tuplas ordenadas (x,y,z) com x,y,z\in\{1,2,3,4,5,6\}. Portanto, o número total de resultados possíveis é
\#\Omega = 6^3 = 216.

Passo 3

Definimos o evento A como os resultados que satisfazem x+y=z. Para tal, devemos contar o número de pares (x,y) em \{1,\dots,6\}^2 com x+y\le6, pois z=x+y precisa estar entre 1 e 6. Sejam s=x+y; s varia de 2 até 6, e para cada s há exatamente s-1 pares (x,y). Assim,
\#A = \sum_{s=2}^{6}(s-1) = 1+2+3+4+5 = 15.

Passo 4

Pelo mesmo raciocínio e por simetria, há outros dois eventos disjuntos:
B\colon x+z=y, também com 15 casos;
C\colon y+z=x, também com 15 casos.
Não há tuplas que satisfaçam duas dessas igualdades simultaneamente (impossível com valores positivos), logo o número total de resultados favoráveis é
\#(A\cup B\cup C) = 15 + 15 + 15 = 45.

Passo 5

A probabilidade buscada é
P = \frac{\#\text{favoráveis}}{\#\Omega} = \frac{45}{216} = \frac{5}{24}.á

Resposta

\displaystyle \frac{5}{24}

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