(ITA-08) Considere o conjunto \mathrm{D}=\{n \in I N ; 1 \leq n \leq 365\} c H \subset P(D) formado por todos os subconjuntos de D com 2 elementos. Escolhendo ao acaso um elemento B \in H, a probabilidade de a soma de seus elementos ser 183 é igual a:
a) \frac{1}{730}
b) \frac{46}{33215}
c) \frac{1}{365}
d) \frac{92}{33215}
Passo 1
O enunciado define D=\{1,2,\dots,365\} e H\subset P(D) como o conjunto de todos os subconjuntos de D com exatamente 2 elementos. Escolhemos ao acaso um B\in H (probabilidade uniforme) e queremos a probabilidade de que a soma dos dois elementos de B seja 183. O conteúdo aqui é contagem de combinações e probabilidade em espaço finito.
Passo 2
O número total de subconjuntos de tamanho 2 de D é
\bigl|H\bigr| = \binom{365}{2}.
Passo 3
Para contar os subconjuntos cujos elementos somam 183, seja \{a,b\} com 1\le a<b\le365 e
a + b = 183.
Cada valor de a determina b = 183 - a, precisamos de a<b e b\le365.
Passo 4
A condição a<b implica a < 183 - a, ou seja a < 91.5. Como a é inteiro e a\ge1, temos 1\le a\le91. Além disso, b=183-a\le182\le365 não impõe restrição extra. Logo há 91 pares favoráveis.
Passo 5
A probabilidade pedida é
\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número total de casos}} = \frac{91}{\binom{365}{2}} = \frac{91}{\frac{365\cdot364}{2}} = \frac{91}{66430}.úáú