Imediatamente após a aplicação de um medicamento, sua concentração no sangue era de 400 mg / ml. Após 2 horas, essa concentração havia baixado para 200 mg / ml . Supondo que a concentração do medicamento seja descrita por c(t)=a cdot 2^b t, em que t representa o tempo em horas desde sua aplicação,
a) determine as constantes a e b;
b) determine em que instante, t, a droga deverá ser reaplicada, o que ocorrerá quando sua concentração baixar para 20 mg / ml.

Passo 1

O enunciado dá o modelo de decaimento da concentração como
c(t) = a cdot 2^b,t,
com c(0)=400 mg/ml e c(2)=200 mg/ml. Para resolver, vamos aplicar essas condições iniciais para encontrar a e b, e em seguida achar t tal que c(t)=20 mg/ml usando propriedades de exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Usando c(0)=400, temos
c(0) = a cdot 2^bcdot0 = a cdot 1 = 400
Logo,
a = 400

Passo 3

Usando c(2)=200, substituímos a=400:
200 = 400 cdot 2^bcdot 2 Longrightarrow 2^2b = 200400 = tfrac12 = 2^-1
Comparando expoentes na base 2, segue
2b = -1 Longrightarrow b = -tfrac12

Passo 4

Para achar o tempo t tal que c(t)=20, usamos
20 = 400 cdot 2^-t/2 Longrightarrow 2^-t/2 = 20400 = tfrac120
Tomando logaritmo na base 2 em ambos os lados:
-t2 = log2!l(tfrac120r) = -log2(20) Longrightarrow t2 = log2(20) Longrightarrow t = 2,log2(20)
Numericamente,
t approx 2 times 4,3219 = 8,64 horas

Resposta

a) ;a = 400, ;b = -tfrac12.
b) ;t = 2log2(20)approx 8,64 horas após a aplicação inicial.

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