(IMO-69) Prove que existem infinitos inteiros positivos
, tal que
n^4+m não é primo para todo inteiro positivo
n .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existem infinitos inteiros positivos
m tais que, para todo inteiro positivo
n , o número
não é primo. O tema principal é fatoração de polinômios, em especial a identidade de Sophie Germain para expressões da forma
a^4 + 4b^4 .
Passo 2
Escolhendo um inteiro
k>=2 , definimos
Vamos mostrar que, com essa escolha, para todo
n>=1 ocorre a fatoração
De fato, basta aplicar a identidade
com
a = n e
b = k .
Passo 3
Verificamos que, para qualquer
n>=1 e
k>=2 , ambos os fatores são maiores que 1:
-
,n^2 - 2nk + 2k^2 = (n-k)^2 + k^2 >= k^2 >= 4 > 1 -
.n^2 + 2nk + 2k^2 >= 2nk >= 4 > 1
Logo, é produto de dois inteiros ambos maiores que 1, e portanto é composto.,n^4 + 4k^4
Passo 4
Como há infinitos
k>=2 , obtemos infinitos valores de
com a propriedade desejada: para todo
n ,
n^4+m não é primo.
Resposta
Basta escolher
Então, para cada
m dessa forma e para todo
n>=1 ,
n^4+m é sempre composto.