(IMO-69) Prove que existem infinitos inteiros positivos m, tal que n^4+m não é primo para todo inteiro positivo n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existem infinitos inteiros positivos m tais que, para todo inteiro positivo n, o número
n^4+m
não é primo. O tema principal é fatoração de polinômios, em especial a identidade de Sophie Germain para expressões da forma a^4 + 4b^4.

Passo 2

Escolhendo um inteiro k>=2, definimos
m = 4k^4
Vamos mostrar que, com essa escolha, para todo n>=1 ocorre a fatoração
n^4 + 4k^4 = (n^2 - 2nk + 2k^2),(n^2 + 2nk + 2k^2)
De fato, basta aplicar a identidade
a^4 + 4b^4 = (a^2 - 2ab + 2b^2),(a^2 + 2ab + 2b^2)
com a = n e b = k.

Passo 3

Verificamos que, para qualquer n>=1 e k>=2, ambos os fatores são maiores que 1:
  • n^2 - 2nk + 2k^2 = (n-k)^2 + k^2 >= k^2 >= 4 > 1,
  • n^2 + 2nk + 2k^2 >= 2nk >= 4 > 1.
    Logo, ,n^4 + 4k^4 é produto de dois inteiros ambos maiores que 1, e portanto é composto.

Passo 4

Como há infinitos k>=2, obtemos infinitos valores de
m = 4k^4
com a propriedade desejada: para todo n, n^4+m não é primo.

Resposta

Basta escolher
m = 4k^4, k=2,3,4,dots
Então, para cada m dessa forma e para todo n>=1, n^4+m é sempre composto.

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