(Torneio das Cidades-2004) Encontre todos os inteiros positivos n para os quais há n sucessivos inteiros positivos cuja soma seja um número primo.

Passo 1

O enunciado pede: “Para quais inteiros positivos n existe uma sequência de n inteiros positivos consecutivos cuja soma é um número primo?”
Conteúdo: soma de progressão aritmética e fatoração de números primos.

Passo 2

Sejam k>=1 o primeiro inteiro e n o número de termos. A soma desses n inteiros consecutivos é
S = k + (k+1) + cdots + (k + n - 1) = n,k + n(n-1)2 = n,(2k + n - 1)2

Passo 3

Se n=1, basta escolher k primo e teremos soma S=k primo. Logo n=1 funciona.

Passo 4

Agora n>1. Se n é par, escreva n=2m com m>=1. Então
S = 2m,(2k + 2m - 1)2 = m,(2k + 2m - 1)
Para S ser primo, um dos fatores deve ser 1. Como 2k+2m-1>=3, só resta m=1, ou seja n=2. Nesse caso
S = 1cdot(2k+1)=2k+1,
e basta escolher k de modo que 2k+1 seja primo (há infinitos).

Passo 5

Se n>1 é ímpar, então 2mid(2k+n-1) e 2k+n-12 é inteiro maior que 1, e temos
S = n times 2k+n-12,
com n>1 e 2k+n-12>=1. Logo S compõe-se de dois fatores maiores que 1, não podendo ser primo.

Resposta

Os únicos valores de n que funcionam são
1 e 2.

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