(Torneio das Cidades-2004) Encontre todos os inteiros positivos n para os quais há n sucessivos inteiros positivos cuja soma seja um número primo.
Passo 1
O enunciado pede: “Para quais inteiros positivos
existe uma sequência de
inteiros positivos consecutivos cuja soma é um número primo?”
Conteúdo: soma de progressão aritmética e fatoração de números primos.
Conteúdo: soma de progressão aritmética e fatoração de números primos.
Passo 2
Sejam
o primeiro inteiro e
o número de termos. A soma desses
inteiros consecutivos é
Passo 3
Se
, basta escolher
primo e teremos soma
primo. Logo
funciona.
Passo 4
Agora
. Se
é par, escreva
com
. Então
Para
ser primo, um dos fatores deve ser 1. Como
, só resta
, ou seja
. Nesse caso
e basta escolher
de modo que
seja primo (há infinitos).
Passo 5
Se
é ímpar, então
e
é inteiro maior que 1, e temos
com
e
. Logo
compõe-se de dois fatores maiores que 1, não podendo ser primo.
Resposta
Os únicos valores de
que funcionam são
1 e 2.
1 e 2.