(Iuguslávia-80) Determine todos os inteiros
para os quais
é um quadrado perfeito.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os inteiros
tais que a expressão
é um quadrado perfeito. O conteúdo aqui é resolver uma equação diofantina quadrática do tipo
procurando soluções inteiras
.
Passo 2
Começamos escrevendo
como uma equação quadrática em
. Para que haja
, o discriminante dessa quadrática deve ser um quadrado perfeito. Calculamos
Passo 3
Impondo
com
, obtemos
Reescrevendo em forma fatorada,
Passo 4
Como
(e também com sinais trocados), e
e
têm mesma paridade, os pares possíveis são
Para cada par
temos
Fazendo as contas:
- De
vem , . - De
vem , . - Os pares negativos dão
e , mas levam aos mesmos valores absolutos de .
Agora, voltando para
, temos
Para
surgem
Para
surgem
Passo 5
Verificando em
, confirmamos que para
o resultado é respectivamente
,
,
e
, todos quadrados perfeitos.