(Iuguslávia-80) Determine todos os inteiros x para os quais x^2+3 x+24 é um quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os inteiros x tais que a expressão
x^2+3x+24
é um quadrado perfeito. O conteúdo aqui é resolver uma equação diofantina quadrática do tipo
x^2+3x+24=y^2,
procurando soluções inteiras (x,y).

Passo 2

Começamos escrevendo
x^2+3x+24-y^2=0
como uma equação quadrática em x. Para que haja xinZ, o discriminante dessa quadrática deve ser um quadrado perfeito. Calculamos
De<a = 3^2-4l(1r)l(24-y^2r) =9-96+4y^2 =4y^2-87

Passo 3

Impondo De<a=k^2 com kinZ, obtemos
4y^2-87=k^2 Long<=ftrightarrow k^2-4y^2=-87
Reescrevendo em forma fatorada,
(2y-k)(2y+k)=87

Passo 4

Como 87=1cdot87=3cdot29 (e também com sinais trocados), e 2y-k e 2y+k têm mesma paridade, os pares possíveis são
(2y-k,,2y+k)in(1,87),(3,29),(-3,-29),(-1,-87)
Para cada par (a,b) temos
y=a+b4, k=b-a2
Fazendo as contas:
  • De (1,87) vem y=22, k=43.
  • De (3,29) vem y=8, k=13.
  • Os pares negativos dão y=-22,k=-43 e y=-8,k=-13, mas levam aos mesmos valores absolutos de k.
Agora, voltando para x, temos
x=-3pm k2
Para k=43 surgem
x=-3+432=20, x=-3-432=-23
Para k=13 surgem
x=-3+132=5, x=-3-132=-8

Passo 5

Verificando em x^2+3x+24, confirmamos que para xin-23,-8,5,20 o resultado é respectivamente 22^2, 8^2, 8^2 e 22^2, todos quadrados perfeitos.

Resposta

-23,;-8,;5,;20

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