Indique o(s) teorema(s) apropriado(s) dessa seção que justifique(m) a igualdade dada. Não expanda os determinantes em cofatores.
|llll1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 4|=|llll0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 0 0 & 3 & 0 & 0 4 & 0 & 0 & 0|

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes 4times4: a primeira é diagonal, com elementos 1,2,3,4 na diagonal, e a segunda é obtida “revertendo” simultaneamente a ordem das linhas e das colunas da primeira. Queremos justificar
det 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 4 = det 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 0 0 & 3 & 0 & 0 4 & 0 & 0 & 0
usando apenas teoremas da teoria de determinantes, sem expansão por cofatores.

Passo 2

Reconhecemos que a primeira matriz é triangular (na verdade diagonal). Pelo
Teorema do determinante de matriz triangular
det(A);=;prodi=1^naii,
segue que
det D = 1cdot 2cdot 3cdot 4

Passo 3

Chame de P a matriz de permutação que inverte a ordem das coordenadas, isto é,
P = 0&0&0&1 0&0&1&0 0&1&0&0 1&0&0&0
Então a segunda matriz é P,D,P. Sabemos pelo
Teorema da multiplicação de determinantes
det(AB) ;=;det(A),det(B)
e pela propriedade das matrizes de permutação (que satisfazem det P=pm1 e P^-1=P^T) que
det(P,D,P) =det(P),det(D),det(P) =det(D),l(det(P)r)^2 =det(D)

Passo 4

Como det(P,D,P)=det(D), concluímos que a reversão simultânea de linhas e colunas não altera o determinante, e portanto
det D =det(P,D,P)

Resposta

Os teoremas usados são:
  1. Teorema do determinante de matriz triangular (produto dos elementos da diagonal).
  2. Teorema da multiplicação de determinantes det(AB)=det Adet B.
  3. Propriedade das matrizes de permutação ( det P=pm1 e P^-1=P^T), de modo que det(PDP)=det D.

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