(Inglaterra-2002) O quadrilátero ABCD está inscrito em uma circunferência. As diagonais AC e BD interceptam-se em Q. Os lados DA, prolongados desde A , e CB , prolongados desde B , encontram-se em P . Dado que
DQ , prove que
.
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero cíclico
. As diagonais
e
cruzam-se em
, e as retas
(prolongada além de
) e
(prolongada além de
) encontram-se em
. Além disso
Queremos mostrar que
Passo 2
Nos triângulos
e
temos, respectivamente,
Como
são colineares, a reta
coincide com
, logo
E como
são colineares, a reta
coincide com
, logo
Portanto
Passo 3
A partir de
saem duas secantes ao círculo: uma atravessa
e sai em
, a outra atravessa
e sai em
. O Teorema do ângulo formado por secantes diz que
onde
e
são os arcos correspondentes no circuncírculo de
. Mas do Passo 2
. Assim
Passo 4
De modo similar, em
as “secantes” são na verdade as diagonais
e
. O Teorema do ângulo interno forma-se-por-duas-cordas dá
Mas do Passo 2 vemos que esse mesmo ângulo interno é
. Logo
Passo 5
Num quadrilátero cíclico vale
e
. Substituindo em
obtemos
Passo 6
Na soma de ângulos do triângulo
:
logo
Mas
(já que
força aquela soma de arcos), de onde