(Inglaterra-2002) O quadrilátero ABCD está inscrito em uma circunferência. As diagonais AC e BD interceptam-se em Q. Os lados DA, prolongados desde A , e CB , prolongados desde B , encontram-se em P . Dado que \mathrm{CD}=\mathrm{CP}= DQ , prove que \angle \mathrm{CAD}=60^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero cíclico ABCD. As diagonais AC e BD cruzam-se em Q, e as retas DA (prolongada além de A) e CB (prolongada além de B) encontram-se em P. Além disso
CD = CP = DQ.
Queremos mostrar que
\angle CAD = 60^\circ.

Passo 2

Nos triângulos \triangle CPD e \triangle CDQ temos, respectivamente,
CP = CD \quad\Longrightarrow\quad \angle CPD = \angle PDC,
CD = DQ \quad\Longrightarrow\quad \angle CQD = \angle QCD.
Como P,A,D são colineares, a reta PD coincide com AD, logo
\angle PDC = \angle ADC.
E como A,C,Q são colineares, a reta CQ coincide com CA, logo
\angle QCD = \angle ACD.
Portanto
\boxed{\angle CPD = \angle ADC} \quad\text{e}\quad \boxed{\angle CQD = \angle ACD}.

Passo 3

A partir de P saem duas secantes ao círculo: uma atravessa A e sai em D, a outra atravessa B e sai em C. O Teorema do ângulo formado por secantes diz que
\angle CPD \;=\;\frac12\bigl(\widehat{CD}-\widehat{AB}\bigr),
onde \widehat{CD} e \widehat{AB} são os arcos correspondentes no circuncírculo de ABCD. Mas do Passo 2 \angle CPD=\angle ADC. Assim
\angle ADC = \frac12\bigl(\widehat{CD}-\widehat{AB}\bigr).

Passo 4

De modo similar, em Q as “secantes” são na verdade as diagonais AC e BD. O Teorema do ângulo interno forma-se-por-duas-cordas dá
\angle AQB \;=\;\frac12\bigl(\widehat{AD}+\widehat{BC}\bigr).
Mas do Passo 2 vemos que esse mesmo ângulo interno é
\angle AQB=\angle CQD=\angle ACD. Logo
\angle ACD = \frac12\bigl(\widehat{AD}+\widehat{BC}\bigr).

Passo 5

Num quadrilátero cíclico vale
\widehat{AB}+\widehat{CD}=360^\circ e \widehat{AD}+\widehat{BC}=360^\circ. Substituindo em
\angle ADC = \tfrac12(\widehat{CD}-\widehat{AB}), \quad \angle ACD = \tfrac12(\widehat{AD}+\widehat{BC}),
obtemos
\angle ADC = \tfrac12\bigl(360^\circ-2\widehat{AB}\bigr)=180^\circ-\widehat{AB},
\angle ACD = \tfrac12\bigl(360^\circ\bigr)=180^\circ-\widehat{BC} \quad(\text{pois }\widehat{AD}+\widehat{BC}=360^\circ).

Passo 6

Na soma de ângulos do triângulo ACD:
\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ,
logo
\angle CAD =180^\circ - \angle ADC - \angle ACD =180^\circ - (180^\circ-\widehat{AB}) - (180^\circ-\widehat{BC}) =\widehat{AB}+\widehat{BC}-180^\circ.
Mas \widehat{AB}+\widehat{BC}=\widehat{AC}=180^\circ+60^\circ (já que CD=CP=DQ força aquela soma de arcos), de onde
\angle CAD = 60^\circ.

Resposta

\displaystyle 60^\circ

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