(OBM Jr.-95) ABCD é um quadrilátero convexo; M e N são os pontos médios dos lados AB e CD . Prove que se o segmento MN divide o quadrilátero em dois de mesma área, então ABCD é um trapézio.
Passo 1
Vamos entender bem o que a questão diz e o que precisamos mostrar. Temos um quadrilátero convexo ABCD. Sejam M e N os pontos médios de AB e CD, respectivamente. A linha MN divide o quadrilátero em duas regiões de mesma área. Precisamos provar que daí segue que uma par de lados opostos de ABCD é paralelo, i.e., que AB\parallel CD.
Conteúdo: área de polígonos via determinantes e vetores, uso de pontos médios.
Passo 2
Vamos pôr coordenadas vetoriais. Denotemos por A,B,C,D os vetores posição dos vértices. Então
M=\frac{A+B}{2},\qquad N=\frac{C+D}{2}.
Para calcular áreas, usamos a fórmula de área orientada de triângulo: a área de \triangle XYZ vale
[\!X Y Z\!]\;=\;\tfrac12\,\det\bigl(Y-X,\;Z-X\bigr).
Passo 3
Agora escrevemos a área do polígono AMND como soma de duas áreas de triângulos:
\text{Area}(AMND) =[\!A M N\!]+[\!A N D\!].
Calculemos cada termo.
M-A=\tfrac12(B-A).
N-A=\tfrac12\bigl((C-A)+(D-A)\bigr).
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[\!A M N\!] =\tfrac12\det(M-A,\;N-A) =\tfrac12\det\Bigl(\tfrac{B-A}2,\;\tfrac{(C-A)+(D-A)}2\Bigr) =\tfrac18\bigl(\det(B-A,C-A)+\det(B-A,D-A)\bigr).
E
[\!A N D\!] =\tfrac12\det(N-A,\;D-A) =\tfrac12\det\Bigl(\tfrac{(C-A)+(D-A)}2,\;D-A\Bigr) =\tfrac14\,\det(C-A,D-A).