(OBM Jr.-95) ABCD é um quadrilátero convexo; M e N são os pontos médios dos lados AB e CD . Prove que se o segmento MN divide o quadrilátero em dois de mesma área, então ABCD é um trapézio.

Passo 1

Vamos entender bem o que a questão diz e o que precisamos mostrar. Temos um quadrilátero convexo ABCD. Sejam M e N os pontos médios de AB e CD, respectivamente. A linha MN divide o quadrilátero em duas regiões de mesma área. Precisamos provar que daí segue que uma par de lados opostos de ABCD é paralelo, i.e., que AB\parallel CD.
Conteúdo: área de polígonos via determinantes e vetores, uso de pontos médios.

Passo 2

Vamos pôr coordenadas vetoriais. Denotemos por A,B,C,D os vetores posição dos vértices. Então
M=\frac{A+B}{2},\qquad N=\frac{C+D}{2}.
Para calcular áreas, usamos a fórmula de área orientada de triângulo: a área de \triangle XYZ vale
[\!X Y Z\!]\;=\;\tfrac12\,\det\bigl(Y-X,\;Z-X\bigr).

Passo 3

Agora escrevemos a área do polígono AMND como soma de duas áreas de triângulos:
\text{Area}(AMND) =[\!A M N\!]+[\!A N D\!].
Calculemos cada termo.
  1. M-A=\tfrac12(B-A).
  2. N-A=\tfrac12\bigl((C-A)+(D-A)\bigr).
    Logo
[\!A M N\!] =\tfrac12\det(M-A,\;N-A) =\tfrac12\det\Bigl(\tfrac{B-A}2,\;\tfrac{(C-A)+(D-A)}2\Bigr) =\tfrac18\bigl(\det(B-A,C-A)+\det(B-A,D-A)\bigr).
E
[\!A N D\!] =\tfrac12\det(N-A,\;D-A) =\tfrac12\det\Bigl(\tfrac{(C-A)+(D-A)}2,\;D-A\Bigr) =\tfrac14\,\det(C-A,D-A).
Somando, obtemos
\text{Area}(AMND) =\frac18\bigl[\det(B-A,C-A)+\det(B-A,D-A)\bigr] +\frac14\,\det(C-A,D-A).

Passo 4

De modo análogo, a área do polígono MBCN é
\text{Area}(MBCN) =[\!M B C\!]+[\!M C N\!].
Fazendo contas iguais (usando B-M=\tfrac12(B-A), C-M=\tfrac12\bigl((C-A)-(B-A)\bigr), etc.), chega-se a
\text{Area}(MBCN) =\frac18\,\det(B-A,C-A) +\frac18\bigl[\det(B-A,D-A)-\det(C-A,D-A)\bigr].

Passo 5

A hipótese é
\text{Area}(AMND)=\text{Area}(MBCN).
Subtraindo as duas expressões obtidas em

Passo 6

0 = \text{Area}(AMND)-\text{Area}(MBCN) =\frac18\bigl[\;\underbrace{2\,\det(C-A,D-A)+\det(B-A,D-A)}_{\text{do primeiro}} -\underbrace{\bigl(\det(B-A,D-A)-\det(C-A,D-A)\bigr)}_{\text{do segundo}}\bigr] =\frac18\,\det(B-A,\;D-C).
Ou seja,
\det\bigl(B-A,\;D-C\bigr)=0.
Isto significa que os vetores B-A e D-C são colineares, logo as retas AB e CD são paralelas.

Resposta

AB\parallel CD, portanto ABCD é um trapézio.

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