Inscreva um cilindro num cone dado de raio
e apótema
, de modo que a área lateral do cone que está acima do cilindro seja igual à área da coroa cujas circunferências são a base do cilindro e a do cone.
Passo 1
O enunciado dá um cone reto de raio da base
e apótema
, e pede para inscrever um cilindro de raio
e altura
de modo que a área lateral do pequeno cone acima do cilindro seja igual à área da coroa circular formada pelas circunferências de raios
e
. Vamos usar semelhança de triângulos e fórmulas de área lateral.
Passo 2
Calculemos a altura
do cone em função de
e
. Num triângulo retângulo formado pela altura, raio e apótema vale
Passo 3
Se o cilindro tiver raio
, então a parte do cone acima do cilindro é um cone menor, semelhante ao original, cujo raio de base é
. Pela semelhança, sua apótema
satisfaz
A área lateral desse cone menor é
Passo 4
A área da coroa entre as circunferências de raios
e
é
Impondo
dá
Portanto
Passo 5
A altura do cilindro é a altura do cone total menos a altura do cone menor. A altura do cone menor vale, por semelhança,
Logo a altura do cilindro é
Resposta
O cilindro inscrito tem