Inscreva um cilindro num cone dado de raio R e apótema G, de modo que a área lateral do cone que está acima do cilindro seja igual à área da coroa cujas circunferências são a base do cilindro e a do cone.

Passo 1

O enunciado dá um cone reto de raio da base R e apótema G, e pede para inscrever um cilindro de raio r e altura h de modo que a área lateral do pequeno cone acima do cilindro seja igual à área da coroa circular formada pelas circunferências de raios r e R. Vamos usar semelhança de triângulos e fórmulas de área lateral.

Passo 2

Calculemos a altura H do cone em função de R e G. Num triângulo retângulo formado pela altura, raio e apótema vale
H = raizG^2 - R^2

Passo 3

Se o cilindro tiver raio r, então a parte do cone acima do cilindro é um cone menor, semelhante ao original, cujo raio de base é r. Pela semelhança, sua apótema g satisfaz
gG ;=;rR Longrightarrow g = G,rR
A área lateral desse cone menor é
Alat, pequeno = pi,r,g = pi,r!l(G,tfracrRr) = pi,G,r^2R

Passo 4

A área da coroa entre as circunferências de raios r e R é
Acoroa = pil(R^2 - r^2r)
Impondo Alat, pequeno = Acoroa
pi,G,r^2R = pil(R^2 - r^2r) Longrightarrow G,r^2R = R^2 - r^2 Longrightarrow r^2,(G+R) = R^3
Portanto
r^2 = R^3G + R, r = R,raizRG + R

Passo 5

A altura do cilindro é a altura do cone total menos a altura do cone menor. A altura do cone menor vale, por semelhança,
Hpequeno = H,rR = raizG^2 - R^2;rR
Logo a altura do cilindro é
h = H - Hpequeno = raizG^2 - R^2 l(1 - rRr) = raizG^2 - R^2l(1 - raiztfracRG+Rr)

Resposta

O cilindro inscrito tem
r = R,raizRG + R, h = raizG^2 - R^2,l(1 - raiztfracRG+Rr)

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