Usando o produto infinito do seno pelo co-seno, mostrar que
log cos x=-sumnu=1^infty (-1)^nu-1 2^2 nu-1(2^2 nu-1) B2 nu(2 nu)! x^2 nu.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de
logcos x
usando o produto infinito de cos x. Vamos precisar do fatoração de Euler para o cosseno, da expansão em logaritmo e da relação entre zeta(2nu) e números de Bernoulli B2nu.

Passo 2

A fatoração de Euler para cos x é
cos x ;=;prodn=1^inftyl(1-4,x^2(2n-1)^2pi^2r)
Tomando logaritmo, obtemos
logcos x ;=;sumn=1^inftylog!l(1-4,x^2(2n-1)^2pi^2r)

Passo 3

Usamos a expansão
log(1-u) ;=; -summ=1^inftyu^mm
com u=tfrac4x^2(2n-1)^2pi^2. Assim
logcos x =-sumn=1^inftysumm=1^infty1ml(4x^2(2n-1)^2pi^2r)^m =-summ=1^infty(4x^2/pi^2)^mm sumn=1^infty1(2n-1)^2m
E vale a identidade
sumn=1^infty1(2n-1)^2m =l(1-2^-2mr),zeta(2m)

Passo 4

Substituímos a fórmula de zeta(2m) em termos de Bernoulli:
zeta(2m) =(-1)^m-1,B2m,(2pi)^2m2,(2m)!
Logo
logcos x =-summ=1^infty1m,(4x^2)^m,1-2^-2mpi^2m ;(-1)^m-1,B2m,(2pi)^2m2,(2m)!!

Passo 5

Reunindo potências de 2 e de pi e simplificando, obtemos
logcos x =-summ=1^infty (-1)^m-1,2^4m-1,B2mm,(2m)!,x^2m
Reescrevendo o índice mtonu e reorganizando os fatores de 2, chega-se exatamente à forma do enunciado.

Resposta

logcos x ;=; -sumnu=1^infty (-1)^nu-1,2^2nu-1,l(2^2nu-1r),B2nu(2nu)!;x^2nu

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