Usando o produto infinito do seno pelo co-seno, mostrar que
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências de
usando o produto infinito de . Vamos precisar do fatoração de Euler para o cosseno, da expansão em logaritmo e da relação entre
e números de Bernoulli
.
usando o produto infinito de
Passo 2
A fatoração de Euler para
é
Tomando logaritmo, obtemos
Passo 3
Usamos a expansão
com
. Assim
E vale a identidade
Passo 4
Substituímos a fórmula de
em termos de Bernoulli:
Logo
Passo 5
Reunindo potências de
e de
e simplificando, obtemos
Reescrevendo o índice
e reorganizando os fatores de
, chega-se exatamente à forma do enunciado.