Deduzir o critério da razão. pela comparação com a série geométrica.
Passo 1
O enunciado pede para deduzirmos o critério da razão para convergência de séries numéricas, usando comparação com a série geométrica. O conteúdo principal é o teste de convergência pelo quociente de termos consecutivos, e vamos precisar do fato de que
converge exatamente quando .
Passo 2
Recordando a série geométrica: para tem-se
ou seja, ela converge. Se , os termos não tendem a zero e a série diverge.
Passo 3
Definimos
Suponha primeiro que L<1. Então escolhemos um número real r tal que
L < r < 1
Pela definição de limite, existe N tal que para todo n>= N
|an+1an|<= r
Isso implica, para n>= N,
|an+1|<= r,|an|<= r^2|an-1|<=cdots<= r^n-N+1,|aN|
Passo 4
A partir de
|an|<= |aN|,r^,n-N (n>= N),
temos comparação com a geométrica de razão r. Logo