Deduzir o critério da razão. pela comparação com a série geométrica.

Passo 1

O enunciado pede para deduzirmos o critério da razão para convergência de séries numéricas, usando comparação com a série geométrica. O conteúdo principal é o teste de convergência pelo quociente de termos consecutivos, e vamos precisar do fato de que
sumn=0^inftyr^n
converge exatamente quando lvert rrvert<1.

Passo 2

Recordando a série geométrica: para lvert rrvert<1 tem-se
sumn=0^inftyr^n = 11-r,
ou seja, ela converge. Se lvert rrvert>=1, os termos r^n não tendem a zero e a série diverge.

Passo 3

Definimos
L = limntoinfty|an+1an|
Suponha primeiro que L<1. Então escolhemos um número real r tal que
L < r < 1
Pela definição de limite, existe N tal que para todo n>= N
|an+1an|<= r
Isso implica, para n>= N,
|an+1|<= r,|an|<= r^2|an-1|<=cdots<= r^n-N+1,|aN|

Passo 4

A partir de
|an|<= |aN|,r^,n-N (n>= N),
temos comparação com a geométrica de razão r. Logo
sumn=N^infty|an| <= |aN|sumk=0^inftyr^k =|aN|11-r<infty
Isso mostra que sum an converge absolutamente quando L<1.

Passo 5

Agora suponha L>1. Então existe r>1 e N tal que para todo n>= N
|an+1an|>= r>1
Isso faz com que |an| cresça geometricamente a partir de algum ponto, portanto limntoinftyanneq0 e a série sum an diverge.

Passo 6

Se L=1, não podemos concluir nada via comparação com a geométrica — este caso fica inconclusivo.

Resposta

O critério da razão afirma que, para a série sum an com termos não nulos, definindo
L = limntoinfty|an+1an|,
temos:
(a) se L<1, sum an converge absolutamente;
(b) se L>1, sum an diverge;
(c) se L=1, o teste é inconclusivo.

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