Integre a função dada sobre a superficie.
Cúpula parabólica H(x, y, z)=x^{2} \sqrt{5-4 z} sobre a cúpula parabólica z=1-x^{2}-y^{2}, z \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície da função
H(x,y,z)=x^{2}\sqrt{5-4z}
sobre a cúpula parabólica
S:\;z=1 - x^{2}-y^{2},\quad z\ge0.
O conteúdo aqui é “integral de superfície de função escalar” usando a representação de S como gráfico z=f(x,y).

Passo 2

Escrevemos S como o gráfico de
f(x,y)=1 - x^{2}-y^{2},
definido no disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}. A fórmula para a integral de superfície de uma função escalar H sobre S é
\iint_{S}H\,dS =\iint_{D}H\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)\,\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\;dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_{x}=-2x,\quad f_{y}=-2y,
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\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}} =\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}} =\sqrt{1+4r^{2}}
quando passamos a coordenadas polares (com r^{2}=x^{2}+y^{2}).

Passo 4

Na superfície, temos z=f(x,y)=1-r^{2}, então
H\bigl(x,y,f(x,y)\bigr) =x^{2}\sqrt{5-4(1-r^{2})} =x^{2}\sqrt{1+4r^{2}}.
O elemento de área é
dS =\sqrt{1+4r^{2}}\;dA.
Multiplicando, o integrando fica
x^{2}\,\sqrt{1+4r^{2}}\;\sqrt{1+4r^{2}} =x^{2}\bigl(1+4r^{2}\bigr).
Em coordenadas polares x=r\cos\theta e dA=r\,dr\,d\theta, resulta
\iint_{S}H\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} \bigl(r\cos\theta\bigr)^{2}\,\bigl(1+4r^{2}\bigr)\;r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r^{3}\cos^{2}\theta\,(1+4r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 5

Separamos a integral em produto angular e radial:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta =\pi,
e
\int_{0}^{1}r^{3}(1+4r^{2})\,dr =\int_{0}^{1}(r^{3}+4r^{5})\,dr =\Bigl[\tfrac{r^{4}}{4}+\tfrac{4r^{6}}{6}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{4}+\tfrac{2}{3} =\tfrac{11}{12}.
Portanto
\iint_{S}H\,dS =\pi\cdot \tfrac{11}{12} =\tfrac{11\pi}{12}.

Resposta

\frac{11\pi}{12}.

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