Integre a função dada sobre a superficie.
Cúpula parabólica
sobre a cúpula parabólica
.
Cúpula parabólica
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície da função
sobre a cúpula parabólica
O conteúdo aqui é “integral de superfície de função escalar” usando a representação de
como gráfico
.
Passo 2
Escrevemos
como o gráfico de
definido no disco
. A fórmula para a integral de superfície de uma função escalar
sobre
é
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
logo
quando passamos a coordenadas polares (com
).
Passo 4
Na superfície, temos
, então
O elemento de área é
Multiplicando, o integrando fica
Em coordenadas polares
e
, resulta
Passo 5
Separamos a integral em produto angular e radial:
e
Portanto