Use uma parametrização para expressar a área da superfície como uma integral dupla. Então calcule a integral.
Esfera serrada A parte de baixo cortada da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2
que satisfaz
z \;\le\;\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Essa condição define o “fatiamento” pela parte inferior do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar e calcular essa área.

Passo 2

Em coordenadas esféricas de raio \sqrt{2} tomamos
x=\sqrt{2}\,\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\sqrt{2}\,\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\sqrt{2}\,\cos\varphi,
onde \theta\in[0,2\pi] e \varphi\in[0,\pi].
O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} equivale a
\sqrt{2}\,\cos\varphi=\sqrt{2}\,\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.
Como queremos a parte onde z\le\sqrt{x^2+y^2}, ficamos com
\varphi\in[\pi/4,\pi].

Passo 3

O elemento de área na esfera de raio \sqrt{2} é
dS =\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =2\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

A área A da superfície é então
A =\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=\pi/4}^{\pi} 2\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calculemos primeiro a integral em \varphi:
\int_{\pi/4}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{\pi/4}^{\pi} =-\cos\pi+\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =1+\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Substituindo de volta em A:
A =2\;\Bigl(2\pi\Bigr)\,\Bigl(1+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) =4\pi+2\sqrt{2}\,\pi.

Resposta

A=4\pi+2\sqrt{2}\,\pi.

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