O inteiro xy 243 z é divisível por 396. Determinar os algarismos x, y e z.

Passo 1

O problema pede para descobrir os dígitos x, y e z do número de seis algarismos
xy243z
sabendo que ele é divisível por 396. Como
396 = 4 times 9 times 11,
vamos aplicar sucessivamente os testes de divisibilidade por 4, por 9 e por 11.

Passo 2

Critério de divisibilidade por 4: basta olhar os dois últimos dígitos 3z. Precisamos ter
30 + z equiv 0 pmod4
Como 30equiv 2pmod4, isso dá
2 + z equiv 0 pmod4 Longrightarrow z equiv 2 pmod4
Logo as opções de um dígito são z=2 ou z=6.

Passo 3

Critério de divisibilidade por 11: para o número de seis dígitos d1d2d3d4d5d6, deve valer
(d1 + d3 + d5) - (d2 + d4 + d6) equiv 0 pmod11
Aqui d1=x, d2=y, d3=2, d4=4, d5=3, d6=z. Logo
(x + 2 + 3) - (y + 4 + z) equiv 0 pmod11 Longrightarrow x - y - z + 1 equiv 0 pmod11
Como x,y,zin0,1,dots,9 e x>=1, o único valor no intervalo possível para
,x - y - z
é
x - y - z = -1,
isto é,
x = y + z - 1

Passo 4

Critério de divisibilidade por 9: a soma dos dígitos tem de ser múltipla de 9. Temos
x + y + 2 + 4 + 3 + z = x + y + z + 9 equiv 0 pmod9 Longrightarrow x + y + z equiv 0 pmod9

Passo 5

Vamos testar as duas opções de z:
Caso z=2:
De x = y + z - 1 vem x = y + 1.
A soma x+y+zequiv0pmod9 fica
(y+1) + y + 2 equiv 0 pmod9 ;Longrightarrow; 2y + 3 equiv 0 pmod9 ;Longrightarrow; 2y equiv 6 pmod9 ;Longrightarrow; y equiv 3 pmod9
Como y é um dígito, y=3. Então x=y+1=4. Obtemos os dígitos
,(x,y,z)=(4,3,2).
Caso z=6:
Temos x = y + 5 e
(y+5) + y + 6 equiv 0 pmod9 ;Longrightarrow; 2y + 11 equiv 0 pmod9 ;Longrightarrow; 2y equiv 7 pmod9 ;Longrightarrow; y equiv 8 pmod9
Assim y=8 e x=y+5=13, o que não é um dígito. Logo essa opção não serve.
Conclusão: a única solução é
x=4, y=3, z=2

Resposta

x=4,;y=3,;z=2

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