Se n é um inteiro arbitrário, prove que n(2 n+7)(7 n+1) é múltiplo de 6.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro arbitrário n, o produto
n,(2n+7),(7n+1)
é múltiplo de 6.
Como 6 = 2 times 3, basta provar que o produto é divisível por 2 e por 3.

Passo 2

Mostrando que 2mid n,(2n+7),(7n+1):
  • Se n é par, então 2mid n e estamos feitos.
  • Se n é ímpar, escrevemos n=2k+1 com kinZ. Então
7n+1 = 7(2k+1)+1 = 14k + 8 = 2,(7k+4),
que é par. Logo, em todos os casos 2 divide o produto.

Passo 3

Mostrando que 3mid n,(2n+7),(7n+1):
Analisamos n módulo 3:
  • Se nequiv 0pmod3, então 3mid n.
  • Se nequiv 1pmod3, então 2n+7 equiv 2cdot1 + 7 = 9 equiv 0pmod3, logo 3mid(2n+7).
  • Se nequiv 2pmod3, então 7n+1 equiv 7cdot2 + 1 = 15 equiv 0pmod3, logo 3mid(7n+1).
    Em qualquer caso, 3 divide um dos três fatores, logo divide o produto.

Resposta

Como o produto é divisível simultaneamente por 2 e por 3, concluímos que
n,(2n+7),(7n+1)
é múltiplo de 6.

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