A densidade de probabilidade associada com a distribuição normal da estatística é dada por
f(x)=\frac{1}{\sigma(2 \pi)^{1 / 2}} \exp \left[-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right]
com a faixa de (-\infty, \infty). Mostre que
o desvio-padrão \left(\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}\right)^{1 / 2} é dado por \sigma.

Passo 1

O enunciado dá a densidade da distribuição normal
f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\Bigl[-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr],
com x\in(-\infty,\infty). Queremos mostrar que o desvio-padrão
\sqrt{\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2}} vale \sigma.
Para isso precisamos calcular
\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx e
\langle x^{2}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\,f(x)\,dx, usando as integrais gaussianas
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a x^{2}}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}, \qquad \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}e^{-a x^{2}}\,dx=\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}.

Passo 2

Calculamos a média \langle x\rangle. Fazemos a mudança de variável
\,y=x-\mu, de modo que
\langle x\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx =\int_{-\infty}^{\infty}(y+\mu)\,\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-y^{2}/(2\sigma^{2})}\,dy.
Como \int y\,e^{-y^{2}/(2\sigma^{2})}dy=0 (integral de função ímpar) e
\int \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-y^{2}/(2\sigma^{2})}dy=1, obtemos
\langle x\rangle=\mu.

Passo 3

Agora calculamos \langle x^{2}\rangle. Usamos de novo y=x-\mu:
\langle x^{2}\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}(y+\mu)^{2}\,\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-y^{2}/(2\sigma^{2})}\,dy =\int\frac{y^{2}}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-y^{2}/(2\sigma^{2})}dy +\mu^{2}.
O termo misto some, e resta
\int_{-\infty}^{\infty}y^{2}e^{-y^{2}/(2\sigma^{2})}dy =\frac{1}{2}\,(2\sigma^{2})\,\sqrt{2\pi}\,\sigma =\sigma^{3}\sqrt{2\pi}.
Dividindo pela normalização \sigma\sqrt{2\pi} vem
\int\frac{y^{2}}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-y^{2}/(2\sigma^{2})}dy =\sigma^{2},
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\langle x^{2}\rangle=\mu^{2}+\sigma^{2}.

Passo 4

A variância é
\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2} =(\mu^{2}+\sigma^{2})-\mu^{2} =\sigma^{2},
e o desvio-padrão é
\sqrt{\sigma^{2}}=\sigma.

Resposta

O desvio-padrão da distribuição normal é \sigma.

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