A densidade de probabilidade associada com a distribuição normal da estatística é dada por
com a faixa de
. Mostre que
o desvio-padrão
é dado por
.
o desvio-padrão
Passo 1
O enunciado dá a densidade da distribuição normal
com
. Queremos mostrar que o desvio-padrão
vale
.
Para isso precisamos calcular
e
, usando as integrais gaussianas
Para isso precisamos calcular
Passo 2
Calculamos a média
. Fazemos a mudança de variável
, de modo que
Como
(integral de função ímpar) e
, obtemos
Passo 3
Agora calculamos
. Usamos de novo
:
O termo misto some, e resta
Dividindo pela normalização
vem
logo
Passo 4
A variância é
e o desvio-padrão é
.
Resposta
O desvio-padrão da distribuição normal é
.