A densidade de probabilidade associada com a distribuição normal da estatística é dada por
f(x)=1sigma(2 pi)^1 / 2 exp [-(x-mu)^22 sigma^2]
com a faixa de (-infty, infty). Mostre que
o desvio-padrão (lang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2)^1 / 2 é dado por sigma.

Passo 1

O enunciado dá a densidade da distribuição normal
f(x)=1sigmaraiz2piexp!l[-(x-mu)^22sigma^2r],
com xin(-infty,infty). Queremos mostrar que o desvio-padrão
raizlang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2 vale sigma.
Para isso precisamos calcular
lang<= xrang<==integral-infty^inftyx,f(x),dx e
lang<= x^2rang<==integral-infty^inftyx^2,f(x),dx, usando as integrais gaussianas
integral-infty^inftye^-a x^2,dx=raizpia, integral-infty^inftyx^2e^-a x^2,dx=12araizpia

Passo 2

Calculamos a média lang<= xrang<=. Fazemos a mudança de variável
,y=x-mu, de modo que
lang<= xrang<= =integral-infty^inftyx,f(x),dx =integral-infty^infty(y+mu),1sigmaraiz2pi e^-y^2/(2sigma^2),dy
Como integral y,e^-y^2/(2sigma^2)dy=0 (integral de função ímpar) e
integral 1sigmaraiz2pie^-y^2/(2sigma^2)dy=1, obtemos
lang<= xrang<==mu

Passo 3

Agora calculamos lang<= x^2rang<=. Usamos de novo y=x-mu:
lang<= x^2rang<= =integral-infty^infty(y+mu)^2,1sigmaraiz2pi e^-y^2/(2sigma^2),dy =integraly^2sigmaraiz2pie^-y^2/(2sigma^2)dy +mu^2
O termo misto some, e resta
integral-infty^inftyy^2e^-y^2/(2sigma^2)dy =12,(2sigma^2),raiz2pi,sigma =sigma^3raiz2pi
Dividindo pela normalização sigmaraiz2pi vem
integraly^2sigmaraiz2pie^-y^2/(2sigma^2)dy =sigma^2,
logo
lang<= x^2rang<==mu^2+sigma^2

Passo 4

A variância é
lang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2 =(mu^2+sigma^2)-mu^2 =sigma^2,
e o desvio-padrão é
raizsigma^2=sigma.

Resposta

O desvio-padrão da distribuição normal é sigma.

Exercícios de Livros Relacionados