No interior de um cubo regular de aresta a, existem 9 esferas de mesmo raio r. O centro de uma dessas esferas coincide com o centro do cubo e cada uma das demais esferas tangencia a esfera do centro e três faces do cubo. Exprima a em função de r.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um cubo de aresta a e nove esferas de raio r dentro dele. Uma esfera está centrada no cubo e as outras oito tocam essa esfera central e também cada uma toca simultaneamente três faces que se encontram num canto do cubo. Precisamos expressar a em função de r.

Passo 2

Vamos colocar o cubo com centro na origem do sistema cartesiano, de modo que suas faces sejam os planos x=pmtfraca2, y=pmtfraca2, z=pmtfraca2. A esfera central tem centro em (0,0,0). Escolhendo uma das esferas de canto, seu centro estará em
l(tfraca2-r,;tfraca2-r,;tfraca2-rr)
pois ela tangencia as três faces positivas x=tfraca2, y=tfraca2, z=tfraca2.

Passo 3

Para que essa esfera de canto seja tangente à esfera central, a distância entre seus centros deve ser 2r. Logo,
raizl(tfraca2-rr)^2+l(tfraca2-rr)^2+l(tfraca2-rr)^2 =2r

Passo 4

Dentro da raiz temos três parcelas iguais, então
raiz3,l(tfraca2-rr)^2=2r Longrightarrow raiz3,l(tfraca2-rr)=2r Longrightarrow tfraca2-r=2rraiz3
Isolando a, obtemos
tfraca2 =r+2rraiz3 Longrightarrow a =2rl(1+2raiz3r)

Resposta

a = 2rl(1+2raiz3r)

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