No interior de um cubo regular de aresta a, existem 9 esferas de mesmo raio r. O centro de uma dessas esferas coincide com o centro do cubo e cada uma das demais esferas tangencia a esfera do centro e três faces do cubo. Exprima a em função de
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um cubo de aresta
e nove esferas de raio
dentro dele. Uma esfera está centrada no cubo e as outras oito tocam essa esfera central e também cada uma toca simultaneamente três faces que se encontram num canto do cubo. Precisamos expressar
em função de
.
Passo 2
Vamos colocar o cubo com centro na origem do sistema cartesiano, de modo que suas faces sejam os planos
,
,
. A esfera central tem centro em
. Escolhendo uma das esferas de canto, seu centro estará em
pois ela tangencia as três faces positivas
,
,
.
Passo 3
Para que essa esfera de canto seja tangente à esfera central, a distância entre seus centros deve ser
. Logo,
Passo 4
Dentro da raiz temos três parcelas iguais, então
Isolando
, obtemos