O segmento A B de medida 8 cm é uma das diagonais de um octaedro regular. Calcule a área total do hexaedro convexo, cujos vértices são os pontos médios das arestas do octaedro dado.

Passo 1

O enunciado nos dá que o segmento AB de medida 8,cm é uma das diagonais que ligam vértices opostos de um octaedro regular. Pede-se a área total do poliedro convexo cujos vértices são os pontos médios das arestas desse octaedro.
Conteúdos usados:
– Relação entre a diagonal e a aresta em um octaedro regular.
– O poliedro cujos vértices são pontos médios das arestas do octaedro é o cuboctaedro.
– Cálculo de área de faces triangulares e quadradas.

Passo 2

Em um octaedro regular de aresta s, a distância entre dois vértices opostos (a ``diagonal'' do octaedro) é
D = sraiz2
Como D=8,cm, temos
s = 8raiz2 = 4raiz2,cm

Passo 3

Os pontos médios das arestas do octaedro formam um cuboctaedro com:
– aresta igual a tfracs2,
8 faces triangulares equiláteras,
6 faces quadradas.
Logo a aresta do cuboctaedro é
s2 = 4raiz22 = 2raiz2,cm

Passo 4

Área de cada face triangular (lado 2raiz2):
Atriang<= = raiz34l(2raiz2r)^2 = raiz34cdot 8 = 2raiz3,cm^2
Como são 8 triângulos, totaliza
8 times 2raiz3 = 16raiz3,cm^2
Área de cada face quadrada (lado 2raiz2):
Asquare = l(2raiz2r)^2 = 8,cm^2
Com 6 quadrados, totaliza
6 times 8 = 48,cm^2

Passo 5

Somando as áreas das faces triangulares e quadradas do cuboctaedro, obtemos a área total
16raiz3 + 48(cm^2)

Resposta

48 + 16raiz3,cm^2

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