O segmento
de medida 8 cm é uma das diagonais de um octaedro regular. Calcule a área total do hexaedro convexo, cujos vértices são os pontos médios das arestas do octaedro dado.
Passo 1
O enunciado nos dá que o segmento
de medida
,cm é uma das diagonais que ligam vértices opostos de um octaedro regular. Pede-se a área total do poliedro convexo cujos vértices são os pontos médios das arestas desse octaedro.
Conteúdos usados:
– Relação entre a diagonal e a aresta em um octaedro regular.
– O poliedro cujos vértices são pontos médios das arestas do octaedro é o cuboctaedro.
– Cálculo de área de faces triangulares e quadradas.
Conteúdos usados:
– Relação entre a diagonal e a aresta em um octaedro regular.
– O poliedro cujos vértices são pontos médios das arestas do octaedro é o cuboctaedro.
– Cálculo de área de faces triangulares e quadradas.
Passo 2
Em um octaedro regular de aresta
, a distância entre dois vértices opostos (a ``diagonal'' do octaedro) é
Como
,cm, temos
Passo 3
Os pontos médios das arestas do octaedro formam um cuboctaedro com:
– aresta igual a ,
– faces triangulares equiláteras,
– faces quadradas.
Logo a aresta do cuboctaedro é
– aresta igual a
–
–
Logo a aresta do cuboctaedro é
Passo 4
Área de cada face triangular (lado
):
Como são
triângulos, totaliza
Área de cada face quadrada (lado
):
Com
quadrados, totaliza
Passo 5
Somando as áreas das faces triangulares e quadradas do cuboctaedro, obtemos a área total