Determine o volume compreendido entre uma esfera e um cilindro, sabendo que o cilindro está circunscrito à esfera e que a área total do cilindro somada à área da esfera é
.
Passo 1
O enunciado pede o volume “entre” uma esfera e um cilindro quando o cilindro está circunscrito à esfera, sabendo que a soma da área total do cilindro com a área da esfera é
.
Vamos usar:
– Área da esfera de raio :
Vamos usar:
– Área da esfera de raio
– Área total do cilindro de raio
e altura
(lateral
duas bases):
Num cilindro circunscrito à esfera, necessariamente
e
.
Passo 2
Substituindo
e
em
, obtemos
Como
, a soma das áreas vale
Igualando a
e cancelando
:
Passo 3
Agora calculamos os volumes com
.
Volume do cilindro:
Volume do cilindro:
Volume da esfera:
Passo 4
O volume “entre” as superfícies (ou seja, dentro do cilindro mas fora da esfera) é