Determine o volume compreendido entre uma esfera e um cilindro, sabendo que o cilindro está circunscrito à esfera e que a área total do cilindro somada à área da esfera é 160 pi cm^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume “entre” uma esfera e um cilindro quando o cilindro está circunscrito à esfera, sabendo que a soma da área total do cilindro com a área da esfera é 160pi cm^2.
Vamos usar:
– Área da esfera de raio R:
Ae = 4pi R^2
– Área total do cilindro de raio r e altura h (lateral + duas bases):
Ac = 2pi r h + 2pi r^2
Num cilindro circunscrito à esfera, necessariamente r=R e h=2R.

Passo 2

Substituindo r=R e h=2R em Ac, obtemos
Ac = 2pi R,(2R) + 2pi R^2 = 6pi R^2
Como Ae = 4pi R^2, a soma das áreas vale
Ac + Ae = 6pi R^2 + 4pi R^2 = 10pi R^2
Igualando a 160pi e cancelando pi:
10R^2 = 160 Longrightarrow R^2 = 16 Longrightarrow R = 4 cm

Passo 3

Agora calculamos os volumes com R=4.
Volume do cilindro:
Vc = pi R^2,(2R) = 2pi R^3 = 2picdot64 = 128pi cm^3
Volume da esfera:
Ve = 43pi R^3 = 43picdot64 = 2563pi cm^3

Passo 4

O volume “entre” as superfícies (ou seja, dentro do cilindro mas fora da esfera) é
V = Vc - Ve = 128pi - 2563pi = 1283,pi cm^3

Resposta

128pi3 cm^3

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