Investigar a convergência das seguintes séries, valendo-se dos critérios de confronto (ou do critério necessário):
\frac{1}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt[3]{10}}+\frac{1}{\sqrt[1]{10}}-\ldots+\frac{(-1)^{n+1}}{n+\sqrt{10}}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\,\frac{1}{n+\sqrt{10}}.
O conteúdo principal é o critério de Leibniz (série alternante) para convergência e, depois, usar o critério de comparação para examinar a convergência absoluta.

Passo 2

Verificamos primeiro a condição necessária para convergir: \displaystyle a_n = (-1)^{n+1}\frac{1}{n+\sqrt{10}} deve tender a zero.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+\sqrt{10}} = 0,
segue que \lim_{n\to\infty}a_n=0, condição necessária satisfeita.

Passo 3

Aplicamos o critério de Leibniz (alternante): definimos b_n = \tfrac{1}{n+\sqrt{10}}.
  1. b_n>0 para todo n.
  2. b_{n+1} = \tfrac{1}{n+1+\sqrt{10}} < \tfrac{1}{n+\sqrt{10}} = b_n, ou seja, (b_n) é decrescente.
  3. \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0.
    Logo, pela regra de Leibniz, \sum(-1)^{n+1}b_n converge.

Passo 4

Agora testamos convergência absoluta, isto é, \sum|a_n| = \sum \tfrac{1}{n+\sqrt{10}}.
Como para n\ge1 vale
\frac{1}{n+\sqrt{10}} \ge \frac{1}{n+1},
e \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} diverge (série harmônica), pelo critério de comparação concluímos que \sum|a_n| diverge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n+\sqrt{10}} converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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