Investigar a convergência das seguintes séries, valendo-se dos critérios de confronto (ou do critério necessário):
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
.
O conteúdo principal é o critério de Leibniz (série alternante) para convergência e, depois, usar o critério de comparação para examinar a convergência absoluta.
O conteúdo principal é o critério de Leibniz (série alternante) para convergência e, depois, usar o critério de comparação para examinar a convergência absoluta.
Passo 2
Verificamos primeiro a condição necessária para convergir:
deve tender a zero.
Como
Como
segue que
, condição necessária satisfeita.
Passo 3
Aplicamos o critério de Leibniz (alternante): definimos
.
-
para todo . -
, ou seja, é decrescente. -
.
Logo, pela regra de Leibniz,converge.
Passo 4
Agora testamos convergência absoluta, isto é,
.
Como para vale
Como para
e
diverge (série harmônica), pelo critério de comparação concluímos que
diverge.
Resposta
A série
converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).