Investigar a convergência das seguintes séries, valendo-se dos critérios de confronto (ou do critério necessário):
\frac{1}{11}+\frac{1}{21}+\frac{1}{31}+\ldots+\frac{1}{10 n+1}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série cujos termos gerais são
a_{n} = \frac{1}{10n + 1}
para n=1,2,3,\dots.
O conteúdo aqui é o estudo de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o critério de confronto (e também o critério necessário).

Passo 2

Primeiro verificamos o critério necessário: se a série converge, então seus termos devem tender a zero. Calculamos
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{10n+1} = 0.
Como o limite é zero, o critério necessário não descarta a convergência; precisamos de um critério mais forte.

Passo 3

Vamos comparar a_{n} com um termo da série harmônica. Note que para todo n\ge1 vale
10n+1 \;\le\; 10n+10 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{10n+1} \;\ge\; \frac{1}{10n+10} = \frac{1}{10\,\bigl(n+1\bigr)}.
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\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10n+1} \;\ge\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10(n+1)} = \frac{1}{10} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}.
Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{n+1} é apenas a série harmônica deslocada, que diverge. Assim, a série original também diverge por comparação.

Resposta

A série
\frac{1}{11} + \frac{1}{21} + \frac{1}{31} + \cdots + \frac{1}{10n+1} + \cdots
diverge.

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