(Colégio Naval-84) Um pol’gono regular possui 70 diagonais que nåo passam pelo seu centro. O valor da medida do angulo interno do referido poligono está, em graus, compreendido entre:
a) 70^{\circ} \mathrm{e} 80^{\circ}
b) 100^{\circ} e 120^{\circ}
c) 120^{\circ}
d) 140^{\circ} \mathrm{e} 150^{\circ}

Passo 1

O enunciado diz que um polígono regular tem exatamente 70 diagonais que não passam pelo seu centro. Vamos usar contagem de diagonais em polígono regular e depois calcular a medida do ângulo interno \alpha em graus.

Passo 2

Para um polígono de n lados, o número total de diagonais é
\frac{n(n-3)}{2}.
Se n é par, as diagonais que passam pelo centro são justamente aquelas que ligam vértices “diametralmente opostos”, cujo número é
\frac{n}{2}.
Logo, as diagonais que não passam pelo centro valem
\frac{n(n-3)}{2} \;-\;\frac{n}{2}.

Passo 3

Impondo que esse total seja 70, temos
\frac{n(n-3)}{2} \;-\;\frac{n}{2} \;=\;70 \quad\Longrightarrow\quad \frac{n^2-4n}{2}=70 \quad\Longrightarrow\quad n^2-4n-140=0.
Resolvendo, o discriminante é 16+560=576, raiz 24, e assim
n=\frac{4\pm24}{2}\;\Longrightarrow\;n=14\quad(\text{descartamos }n<0).

Passo 4

A fórmula do ângulo interno \alpha de um polígono regular de n lados é
\alpha = \frac{(n-2)\,180^\circ}{n}.
Substituindo n=14,
\alpha = \frac{12\cdot180^\circ}{14} =\frac{2160^\circ}{14} \approx154{,}29^\circ.

Passo 5

O valor calculado \alpha\approx154{,}3^\circ está entre 150^\circ e 160^\circ, portanto, a resposta correta é a alternativa (e).

Resposta

(d) 140\circ e 150\circ

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