(ITA-2003) O número de divisores de 17640 que, por sua vez, são divisíveis por 3 é:
a) 24
b) 36
c) 48
d) 54
e) 72

Passo 1

O enunciado pede o número de divisores de 17640 que são também divisíveis por 3. O conteúdo principal é fatoração em números primos e contagem de divisores usando a fórmula prod (ai+1) para n=prod pi^ai.

Passo 2

Vamos fatorar 17640:
Observamos que 17640 = 1764 times 10.
Como 1764 = 42^2 e 42 = 2 times 3 times 7, temos
1764 = 2^2 cdot 3^2 cdot 7^2
e
10 = 2 cdot 5
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17640 = 1764 times 10 = 2^2+1 cdot 3^2 cdot 5^1 cdot 7^2 = 2^3 cdot 3^2 cdot 5^1 cdot 7^2

Passo 3

Para contar todos os divisores de 17640 múltiplos de 3, precisamos que o expoente de 3 em cada divisor seja pelo menos 1. Se um divisor genérico tem a forma
2^e2 cdot 3^e3 cdot 5^e5 cdot 7^e7,
então
e2in0,1,2,3,
e3in1,2,
e5in0,1,
e7in0,1,2.

Passo 4

O número de escolhas de cada expoente é
(e2+1)=4, (e3)=2, (e5+1)=2, (e7+1)=3
Multiplicando,
4 times 2 times 2 times 3 = 48

Resposta

(c)

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