(ITA-17) Um atirador dispõe de très alvos para acertar. O primeiro deste encontra-se a 30 m de distäncia; o segundo, a 40 m : o terceiro alvo. a 60 m . sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância c que a probabilidade de ele acertar o primeiro alvo é de 2/3. entào a probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é
A) \frac{120}{160}.
B) \frac{119}{154}.
C) \frac{110}{144}.
D) \frac{105}{135}.
E) \frac{119}{144}.

Soluçāo: Alternativa E

Passo 1

O enunciado diz que há três alvos a distâncias de 30 m, 40 m e 60 m, e que a probabilidade de acertar cada alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância. Sabemos que a probabilidade de acertar o primeiro alvo é \tfrac{2}{3}. Precisamos achar a probabilidade de acertar ao menos um dos três alvos.

Passo 2

Seja p_i a probabilidade de acertar o i-ésimo alvo a distância d_i. Como p_i\propto1/d_i^2, existe constante k tal que
p_i = \frac{k}{d_i^2}.
Para o primeiro alvo, d_1=30 e p_1=2/3, logo
\frac{2}{3} = \frac{k}{30^2} \quad\Rightarrow\quad k = \frac{2}{3}\cdot900 = 600.

Passo 3

Agora calculamos p_2 e p_3:
p_2 = \frac{600}{40^2} = \frac{600}{1600} = \frac{3}{8}, \qquad p_3 = \frac{600}{60^2} = \frac{600}{3600} = \frac{1}{6}.

Passo 4

A probabilidade de acertar ao menos um alvo é
P(\ge1) = 1 - P(\text{errar todos}) = 1 - \bigl(1-p_1\bigr)\bigl(1-p_2\bigr)\bigl(1-p_3\bigr).
Temos
(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3) = \left(1-\frac{2}{3}\right)\left(1-\frac{3}{8}\right)\left(1-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{3}\cdot\frac{5}{8}\cdot\frac{5}{6} = \frac{25}{144},
portanto
P(\ge1) = 1 - \frac{25}{144} = \frac{119}{144}.

Resposta

\displaystyle \frac{119}{144}

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