(Olimpiada de Santa Catarina-15) Sejam nek números naturais, com k \leq n, e seja X um conjunto com n elementos. Escolhendo aleatoriamente dois subconjuntos A e B de X, calcule a probabilidade de a intersecção entre A e B possuir k elementos. Solução:

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, ao escolher aleatoriamente dois subconjuntos A e B de um conjunto X com n elementos, a interseção A\cap B tenha exatamente k elementos. O conteúdo envolve contagem de casos possíveis e favoráveis em probabilidade combinatória.

Passo 2

Cada subconjunto de X pode ser escolhido de 2^n maneiras, de modo que o número total de pares ordenados (A,B) é
2^n \times 2^n \;=\;4^n.

Passo 3

Para contar os casos em que \lvert A\cap B\rvert = k, note que cada elemento de X pode ficar em quatro “categorias”: nem em A nem em B, só em A, só em B ou em ambos. Queremos exatamente k elementos na categoria “em ambos”.
  • Primeiro escolhemos quais são esses k elementos: \binom{n}{k} formas.
  • Cada um dos outros n-k elementos não pode ficar em “ambos”, mas tem 3 opções (nem em nenhum, só em A ou só em B), totalizando 3^{\,n-k} formas.
    Logo, o número de casos favoráveis é
\binom{n}{k}\,3^{\,n-k}.

Passo 4

A probabilidade procurada é o quociente entre casos favoráveis e casos possíveis, isto é
\frac{\binom{n}{k}\,3^{\,n-k}}{4^n}.

Resposta

\frac{\binom{n}{k}\,3^{\,n-k}}{4^n}.

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