(Olimpiada de Santa Catarina-15) Sejam nek números naturais, com
, e seja
um conjunto com
elementos. Escolhendo aleatoriamente dois subconjuntos A e B de
, calcule a probabilidade de a intersecção entre A e B possuir k elementos. Solução:
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, ao escolher aleatoriamente dois subconjuntos
e
de um conjunto
com
elementos, a interseção
tenha exatamente
elementos. O conteúdo envolve contagem de casos possíveis e favoráveis em probabilidade combinatória.
Passo 2
Cada subconjunto de
pode ser escolhido de
maneiras, de modo que o número total de pares ordenados
é
Passo 3
Para contar os casos em que
, note que cada elemento de
pode ficar em quatro “categorias”: nem em
nem em
, só em
, só em
ou em ambos. Queremos exatamente
elementos na categoria “em ambos”.
- Primeiro escolhemos quais são esses
elementos: formas. - Cada um dos outros
elementos não pode ficar em “ambos”, mas tem 3 opções (nem em nenhum, só em ou só em ), totalizando formas.
Logo, o número de casos favoráveis é
Passo 4
A probabilidade procurada é o quociente entre casos favoráveis e casos possíveis, isto é