(AlME-98) Nove cartões numerados com 1,2,3, \ldots, 9 são aleatoriamente divididos entre três pessoas, cada um recebendo três cartões. Determine a probabilidade que a soma dos números dos cartões de cada pessoa seja um número impar.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, ao distribuir aleatoriamente os cartões numerados de 1 a 9 entre três pessoas (cada uma recebendo 3 cartas), a soma dos números de cada mão seja ímpar.
Conteúdo: combinatória básica de distribuição e paridade de soma.

Passo 2

Calcule o total de distribuições possíveis (espaço amostral). Como temos 9 cartas distintas e queremos dar 3 para cada pessoa, o número total de maneiras é
\binom{9}{3}\,\binom{6}{3}\,\binom{3}{3} =84 \times 20 \times 1 =1680.

Passo 3

Entenda a condição “soma ímpar” para cada pessoa. A soma de três números é ímpar se, e somente se, o número de cartas de valor ímpar nessa mão for ímpar. Dos 9 cartões, 5 são ímpares ( 1,3,5,7,9) e 4 são pares ( 2,4,6,8). Logo, cada pessoa deve receber ou 1 carta ímpar (e 2 pares) ou 3 cartas ímpares.

Passo 4

Determine como repartir as 5 cartas ímpares entre as três pessoas, de modo que cada uma receba 1 ou 3:
Seja k_i\in\{1,3\} o número de ímpares da pessoa i. Queremos
k_1+k_2+k_3=5,
com cada k_i\in\{1,3\}. A única solução é que uma pessoa receba 3 ímpares e as outras duas recibam 1 cada.

Passo 5

Conte as configurações favoráveis:
  1. Escolher qual das 3 pessoas fica com 3 ímpares: 3 formas.
  2. Dentre as 5 cartas ímpares, escolher 3 para essa pessoa: \binom{5}{3}=10.
  3. Das 2 ímpares restantes, escolher 1 para a segunda pessoa ( 2 formas) e a última ímpar vai para a terceira.
  4. Distribuir as 4 cartas pares restantes entre as duas pessoas que têm 1 ímpar: cada uma precisa de 2 pares, e a que recebeu 3 ímpares não recebe pares. O número de maneiras de dar 2 pares a uma dessas duas pessoas é \binom{4}{2}=6 (o outro recebe o que sobrar).
    Multiplicando tudo:
3 \times 10 \times 2 \times 6 =600
é o número de casos favoráveis.

Passo 6

A probabilidade desejada vale
\frac{\text{favoráveis}}{\text{total}} = \frac{600}{1680} = \frac{5}{14}.á

Resposta

\displaystyle \frac{5}{14}

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