(AlME-98) Nove cartões numerados com
são aleatoriamente divididos entre três pessoas, cada um recebendo três cartões. Determine a probabilidade que a soma dos números dos cartões de cada pessoa seja um número impar.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, ao distribuir aleatoriamente os cartões numerados de
a
entre três pessoas (cada uma recebendo 3 cartas), a soma dos números de cada mão seja ímpar.
Conteúdo: combinatória básica de distribuição e paridade de soma.
Conteúdo: combinatória básica de distribuição e paridade de soma.
Passo 2
Calcule o total de distribuições possíveis (espaço amostral). Como temos 9 cartas distintas e queremos dar 3 para cada pessoa, o número total de maneiras é
Passo 3
Entenda a condição “soma ímpar” para cada pessoa. A soma de três números é ímpar se, e somente se, o número de cartas de valor ímpar nessa mão for ímpar. Dos 9 cartões, 5 são ímpares (
) e 4 são pares (
). Logo, cada pessoa deve receber ou 1 carta ímpar (e 2 pares) ou 3 cartas ímpares.
Passo 4
Determine como repartir as 5 cartas ímpares entre as três pessoas, de modo que cada uma receba 1 ou 3:
Seja o número de ímpares da pessoa
. Queremos
Seja
com cada
. A única solução é que uma pessoa receba 3 ímpares e as outras duas recibam 1 cada.
Passo 5
Conte as configurações favoráveis:
- Escolher qual das 3 pessoas fica com 3 ímpares: 3 formas.
- Dentre as 5 cartas ímpares, escolher 3 para essa pessoa:
. - Das 2 ímpares restantes, escolher 1 para a segunda pessoa (
formas) e a última ímpar vai para a terceira. - Distribuir as 4 cartas pares restantes entre as duas pessoas que têm 1 ímpar: cada uma precisa de 2 pares, e a que recebeu 3 ímpares não recebe pares. O número de maneiras de dar 2 pares a uma dessas duas pessoas é
(o outro recebe o que sobrar).
Multiplicando tudo:
é o número de casos favoráveis.
Passo 6
A probabilidade desejada vale