Considere todos os pares (b,c) de inteiros tais que |b| \leq 4 e |c| \leq 4. Escolhendose, ao acaso, um desses pares ( b, c ) , determine a probabilidade de a equação \mathbf{x}^{2}+2 \mathbf{b x} +\mathrm{c}=0 possuir raizes distintas positivas.

Passo 1

Resumindo: escolhemos ao acaso um par de inteiros (b,c) com |b|\le4 e |c|\le4, num total de 9\times9=81 pares. Queremos a probabilidade de a equação
x^2 + 2b\,x + c = 0
ter duas raízes reais, distintas e positivas.

Passo 2

Para ter raízes reais e distintas, o discriminante \Delta deve ser positivo. Como
\Delta = (2b)^2 - 4\cdot1\cdot c = 4\bigl(b^2 - c\bigr),
exigimos
b^2 - c > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad c < b^2.
As raízes são
x = -b \pm \sqrt{\,b^2 - c\,}.
Para que ambas sejam positivas, precisamos
-b - \sqrt{\,b^2 - c\,} > 0 \quad\text{e}\quad -b + \sqrt{\,b^2 - c\,} > 0.

Passo 3

A desigualdade -b + \sqrt{b^2 - c}>0 é sempre satisfeita quando b<0, pois \sqrt{b^2 - c}>0. A outra fica
-b > \sqrt{\,b^2 - c\,} \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{\,b^2 - c\,} < -b.
Elevando ao quadrado dá
b^2 - c < b^2 \quad\Longleftrightarrow\quad c > 0.
Juntando com c<b^2, chega-se a
1 \le c \le b^2 - 1,
sempre com b<0.

Passo 4

Contamos as soluções inteiras para cada b\in\{-4,-3,-2,-1\}, lembrando que |c|\le4:
Para b=-1: b^2-1=0, não há c\ge1.
Para b=-2: b^2-1=3, então 1\le c\le3, são 3 valores.
Para b=-3: b^2-1=8 mas |c|\le4, fica 1\le c\le4, são 4 valores.
Para b=-4: b^2-1=15 mas |c|\le4, fica 1\le c\le4, são 4 valores.
Total de pares favoráveis: 0+3+4+4=11.

Passo 5

O espaço amostral tem 81 pares e os favoráveis são 11. Logo a probabilidade é
\frac{11}{81}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{81}

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