(ITA-78) Os catetos b ec de um triângulo retângulo de altura h (relativa à hipotenusa), são dados pelas seguintes expressões:
\mathbf{b}=\sqrt{k+\frac{1}{k}} e \mathrm{c}=\sqrt{\mathrm{k}-\frac{1}{\mathrm{k}}} onde k é um número real maior que 1. Então o valor de \mathbf{h} em função de \mathbf{k} é:
a) \frac{\sqrt{\mathrm{k}^{2}-1}}{2 \mathrm{k}}
b) \frac{\mathrm{k}^{2}-1}{\mathrm{k}^{2}-2}
c) \frac{\sqrt{1+k^{2}}}{-1-k^{2}}
d) \frac{\sqrt{2\left(\mathrm{k}^{2}-1\right)}}{2 \mathrm{k}}
e) n.d.a.

Passo 1

O enunciado diz que num triângulo retângulo os catetos são
\displaystyle b=\sqrt{k+\tfrac1k} e \displaystyle c=\sqrt{k-\tfrac1k} com k>1,
e pede a altura h relativa à hipotenusa. Vamos usar teoria de triângulos retângulos para expressar h em termos de k.

Passo 2

Na geometria do triângulo retângulo, a hipotenusa a satisfaz
a=\sqrt{b^2+c^2}
e a altura h relativa a ela é dada por
h=\frac{b\,c}{a}.

Passo 3

Calculamos primeiro
b^2=k+\tfrac1k,\quad c^2=k-\tfrac1k,
portanto
a=\sqrt{b^2+c^2} =\sqrt{\bigl(k+\tfrac1k\bigr)+\bigl(k-\tfrac1k\bigr)} =\sqrt{2k}.

Passo 4

Para o produto dos catetos temos
b\,c =\sqrt{\bigl(k+\tfrac1k\bigr)\bigl(k-\tfrac1k\bigr)} =\sqrt{k^2-\tfrac1{k^2}} =\frac{\sqrt{k^4-1}}{k}.

Passo 5

Substituindo em h=\tfrac{b\,c}{a} obtemos
h =\frac{\frac{\sqrt{k^4-1}}{k}}{\sqrt{2k}} =\sqrt{\frac{k^4-1}{2k^3}}.
Nenhuma das alternativas (a) a (d) se iguala a esta expressão, pois elas produzem funções diferentes de k.

Resposta

n.d.a.

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