(ITA-67) \sum_{k=0}^{10} \mathfrak{2}^{k}\binom{10}{k} é igual a:
a) 2^{10}
b) 2^{10}-1
c) 3^{11}-1
d) 3^{(1)}+1

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\sum_{k=0}^{10}2^{k}\binom{10}{k}.
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Binômio, que diz que, para quaisquer números a e b e inteiro n\ge0,
(a+b)^n \;=\;\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{\,n-k}.

Passo 2

Para usar o Teorema do Binômio, tomamos a=2 e b=1 e n=10. Então
(2+1)^{10} \;=\;\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}2^k\cdot1^{\,10-k} \;=\;\sum_{k=0}^{10}2^k\binom{10}{k}.

Passo 3

Como 2+1=3, concluímos que
\sum_{k=0}^{10}2^k\binom{10}{k} \;=\;3^{10}.

Resposta

\displaystyle 3^{10}

Exercícios de Livros Relacionados