(ITA-89) Considerc a cquação x\left[\begin{array}{l}4 \\\\ -16 \\\\ 4\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{l}7 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right], onde x, y \in
z são números reais. É verdade que:
a) a equação admite somente uma solução
b) em qualquer solução, x^{2}=z^{2}
c) em qualquer solução. 16 x^{2}=9 z^{2}
d) em qualquer solução, 25 y^{2}=16 z^{2}
e) em qualquer solução, 9 y^{2}=16 z^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo em \mathbb{R}^3 obtido de
x\begin{pmatrix}4\\\ -16\\\ 4\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}5\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}7\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
e pede qual das relações entre x,y,z vale para toda solução. O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos por eliminação ou substituição.

Passo 2

Escrevendo as equações linha a linha, temos
4x+5y+7z=0
-16x+y=0
4x+2y+3z=0

Passo 3

Da segunda equação segue
-16x+y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=16x.

Passo 4

Substituindo y=16x na primeira e na terceira equações:
na primeira,
4x+5\,(16x)+7z=0 \quad\Longrightarrow\quad 84x+7z=0 \quad\Longrightarrow\quad z=-12x;
na terceira,
4x+2\,(16x)+3z=0 \quad\Longrightarrow\quad 36x+3z=0 \quad\Longrightarrow\quad z=-12x,
confirmando consistência.

Passo 5

Logo a solução geral é
(x,y,z)=(t,\;16t,\;-12t), \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Para qualquer solução temos
\frac{y}{z}=\frac{16t}{-12t}=-\frac{4}{3},
portanto
9y^2=9\,(16t)^2=2304\,t^2 \quad\text{e}\quad 16z^2=16\,(-12t)^2=2304\,t^2,
ou seja,
9y^2=16z^2.

Resposta

(e)

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