(ITA-18) Se o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=0 \\\\ 2 a^{2} y+\left(2 a^{4}-a\right) z=0 \\\ x+a y+\left(a^{3}-1\right) z=0 \end{array}\right.
admite infinitas soluções. clltào os possiveis valores do parâmetro a são
a) 0,-1, \frac{-1-\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 \div \sqrt{3}}{2}
b) 0,-1, \frac{1-\sqrt{3}}{2}, \frac{1 \div \sqrt{3}}{2}
c) 0,-1, \frac{-1+\sqrt{3}}{2}, \frac{1+\sqrt{3}}{2}
d) 0,-1,-1-\sqrt{3},-1+\sqrt{3}
e) 0,-1,1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo de três equações em três incógnitas com parâmetro a\): \[\begin{cases} x+y+z=0,\\\\ 2a^2y+(2a^4-a)z=0,\\\ x+a y+(a^3-1)z=0. \end{cases}
Como é homogêneo, ele terá infinitas soluções se, e somente se, a matriz de coeficientes for singular, isto é, seu determinante for zero. Vamos calcular
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2a^2 & 2a^4 - a\\\\ 1 & a & a^3 - 1 \end{pmatrix}
e impor (\det A=0].

Passo 2

Para facilitar o cálculo, aplicamos a operação L_3\leftarrow L_3 - L_1. Obtemos
A\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2a^2 & 2a^4 - a\\\\ 0 & a-1 & a^3-2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Expandindo o determinante pela primeira linha (primeiro elemento igual a 1), vem
\det A =1\cdot \det\begin{pmatrix} 2a^2 & 2a^4 - a\\\ a-1 & a^3 - 2 \end{pmatrix} =2a^2\,(a^3-2)\;-\;(2a^4-a)(a-1).
Desenvolvendo,
\det A =2a^5-4a^2-\bigl(2a^5-2a^4-a^2+a\bigr) =2a^4-3a^2-a.

Passo 4

Impondo \det A=0, obtemos
2a^4-3a^2-a=0 \;\Longleftrightarrow\; a\,(2a^3-3a-1)=0.
O fator cúbico 2a^3-3a-1 admite a raiz a=-1 e se fatoriza por divisão sintética em
2a^3-3a-1=(a+1)(2a^2-2a-1),
com soluções de 2a^2-2a-1=0 dadas por
a=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}.
Logo as raízes são
a=0,\quad a=-1,\quad a=\frac{1+\sqrt{3}}{2},\quad a=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, a única que lista exatamente
0,\;-1,\;\frac{1-\sqrt{3}}{2},\;\frac{1+\sqrt{3}}{2}
é a letra (b).

Resposta

(b)

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