(UECE-18) Se o sistema de equações \left\{\begin{array}{l}a x+b z=1 \\\ x+y+z=2, \text { onde } a=\operatorname{sen} \alpha e b=\cos \alpha, \\\ a x-b z=3\end{array}\right.
adınite uma única solução, então, podese atirmar corretamente que
A) 2 \alpha \neq k \pi, onde k é um número inteiro.
B) \alpha=k \pi, onde k é um número inteiro.
C) \alpha=(2 k+1) \pi, onde k è um número inteiro.
D) 2 \alpha \neq 1+k \pi, onde k é urn número inteiro.

Passo 1

O enunciado dá o sistema com incógnitas x,y,z e parâmetros
\displaystyle a=\operatorname{sen}\alpha, \displaystyle b=\cos\alpha:
\begin{cases} a\,x + b\,z = 1,\\\ x + y + z = 2,\\\ a\,x - b\,z = 3. \end{cases}
O conteúdo é Álgebra Linear: para haver solução única, a matriz dos coeficientes deve ter determinante não nulo.

Passo 2

A matriz M dos coeficientes é
M=\begin{pmatrix} a & 0 & b\\\\ 1 & 1 & 1\\\ a & 0 & -b \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular \det M por expansão na segunda coluna (que tem dois zeros):
\det M = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} a & b \\\ a & -b \end{pmatrix} = a \cdot (-b) - b \cdot a = -2 \cdot a \cdot b.

Passo 4

Substituindo a=\operatorname{sen}\alpha e b=\cos\alpha, tem-se
\det M = -2\,\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha = -\sin(2\alpha).
Para solução única é preciso \det M\neq0, ou seja
\sin(2\alpha)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad 2\alpha \neq k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

A) 2\alpha\neq k\pi, onde k é um número inteiro.

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