(UECE-18) Se o sistema de equações \left\{\begin{array}{l}a x+b z=1 \\\ x+y+z=2, \text { onde } a=\operatorname{sen} \alpha e b=\cos \alpha, \\\ a x-b z=3\end{array}\right.
adınite uma única solução, então, podese atirmar corretamente que
A) 2 \alpha \neq k \pi, onde k é um número inteiro.
B) \alpha=k \pi, onde k é um número inteiro.
C) \alpha=(2 k+1) \pi, onde k è um número inteiro.
D) 2 \alpha \neq 1+k \pi, onde k é urn número inteiro.
Passo 1
O enunciado dá o sistema com incógnitas x,y,z e parâmetros \displaystyle a=\operatorname{sen}\alpha, \displaystyle b=\cos\alpha:
\begin{cases} a\,x + b\,z = 1,\\\ x + y + z = 2,\\\ a\,x - b\,z = 3. \end{cases}
O conteúdo é Álgebra Linear: para haver solução única, a matriz dos coeficientes deve ter determinante não nulo.
Passo 2
A matriz M dos coeficientes é
M=\begin{pmatrix} a & 0 & b\\\\ 1 & 1 & 1\\\ a & 0 & -b \end{pmatrix}.
Passo 3
Vamos calcular \det M por expansão na segunda coluna (que tem dois zeros):
\det M = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} a & b \\\ a & -b \end{pmatrix} = a \cdot (-b) - b \cdot a = -2 \cdot a \cdot b.
Passo 4
Substituindo a=\operatorname{sen}\alpha e b=\cos\alpha, tem-se
\det M = -2\,\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha = -\sin(2\alpha).