(IME-84 CG) Dado o sistema:
\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 3 & 4 \\\\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\\ y \\\ w \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 17 \\\\ 53 \\\\ 28 \\\\ 27 \end{array}\right]
encontre o seu conjunto solução.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de 4 equações e 4 incógnitas (x,y,w,z) e pede o conjunto solução. O conteúdo é a resolução de sistema por eliminação de Gauss, que consiste em usar combinações lineares das equações para isolar incógnitas e resolver passo a passo.

Passo 2

Escrevendo as equações:
\begin{cases} x + y + w + z = 17,\\\\ 2x + 3y + 3w + 4z = 53,\\\ x + y + 2w + 2z = 28,\\\ x + y + w + 3z = 27. \end{cases}
Subtraindo a primeira da terceira, obtemos
(x+y+2w+2z)-(x+y+w+z)=w+z=28-17=11.
Subtraindo a primeira da quarta, obtemos
(x+y+w+3z)-(x+y+w+z)=2z=27-17=10 \quad\Longrightarrow\quad z=5.
Então w+z=11 w=11-5=6.

Passo 3

Com w=6\) e \(z=5\), a primeira equação vira \[x+y+6+5=17 \quad\Longrightarrow\quad x+y=6.
A segunda equação fica
2x+3y+3\cdot6+4\cdot5=53 \quad\Longrightarrow\quad 2x+3y+18+20=53 \quad\Longrightarrow\quad 2x+3y=15.
Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} x+y=6,\\\\ 2x+3y=15. \end{cases}
Da primeira vem x=6-y\]. Substituindo na segunda: \[2(6-y)+3y=15 \quad\Longrightarrow\quad 12 -2y+3y=15 \quad\Longrightarrow\quad y=3,\] logo \(x=6-3=3.

Resposta

O sistema tem solução única
\{(x,y,w,z)=(3,3,6,5)\}.

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