(ITA-69) Para que valores reais de a e b o seguinte sistema não admite solução’?
\left\{\begin{array}{l} 3 x+a y+4 z=0 \\\ x+y+3 z=-5 \\\\ 2 x-3 y+z=b \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em (x,y,z)\): \[\begin{cases} 3x + a y + 4z = 0,\\\ x + y + 3z = -5,\\\\ 2x -3y + z = b. \end{cases}
Queremos saber para quais ((a,b)\in\mathbb{R}^2] este sistema não admite solução. O critério é comparar o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz aumentada: se o posto aumentado for maior que o posto dos coeficientes, o sistema é incompatível.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 3 & a & 4\\\\ 1 & 1 & 3\\\\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
Temos
\det(A) =3\begin{vmatrix}1&3\\\ -3&1\end{vmatrix} - a\begin{vmatrix}1&3\\\ 2&1\end{vmatrix} +4\begin{vmatrix}1&1\\\ 2&-3\end{vmatrix} =3(1+9)-a(1-6)+4(-3-2) =30+5a-20 =10+5a.
Logo \det(A)=0 se, e somente se, 10+5a=0, i.e., a=-2. Para a\neq -2 o sistema tem solução única e, portanto, admite sempre solução.

Passo 3

Para que o sistema seja potencialmente incompatível precisamos de a=-2\). Substituindo \(a=-2\) nas duas primeiras equações e tentando expressar a terceira como combinação linear delas, escrevemos \[\lambda\,(3x -2y +4z) +\mu\,(x + y +3z) \;=\;2x -3y + z.
Igualando coeficientes de x,y,z:
\begin{cases} 3\lambda + \mu = 2,\\\\ -2\lambda + \mu = -3,\\\\ 4\lambda + 3\mu = 1. \end{cases}
Da primeira \mu=2-3\lambda\]. Substituindo na segunda: \[-2\lambda + (2-3\lambda) = -3 \;\Longrightarrow\;-5\lambda = -5 \;\Longrightarrow\;\lambda=1,\;\mu=-1,\] e a terceira é satisfeita: \(4\cdot1+3\cdot(-1)=1.

Passo 4

Para manter consistência, o lado direito da terceira equação deve coincidir com a combinação dos lados direitos das duas primeiras:
\lambda\cdot 0 + \mu\cdot(-5) = -5\mu = -5\cdot(-1) = 5.
Isto é, se b=5 a terceira equação é dependente das duas primeiras (posto aumentado = posto dos coeficientes =2) e há infinitas soluções. Se b\neq 5, a igualdade não vale, o posto aumentado seria 3 enquanto o posto da matriz de coeficientes é 2, e o sistema fica incompatível.

Resposta

O sistema não admite solução exatamente quando
a=-2 \quad\text{e}\quad b\neq 5.

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