(ITA-70) Considere o binômio \left(\frac{1}{x}+a x^{2}\right)^{36}. Esse binômio possui um certo termo T independente de x. Se elevarmos \mathrm{ax}^{2} a uma certa potência \alpha, o termo independente do novo binômio será o quinto termo. Então:
a) Té o 12^{\circ} termo e o valor de \alpha é 4 .
b) Té o 12^{\prime \prime} termo e o valor de \alpha é 3 .
c) Té o 13^{\circ} termo e o valor de \alpha é 3 .
d) Téo 13^{\circ} termo e o valor de \alpha é 4 .

Passo 1

O enunciado considera o binômio
\Bigl(\frac{1}{x}+a x^{2}\Bigr)^{36}
e pede o termo independente de x, que chamamos de T. Em seguida, substituímos a x^{2} por (a x^{2})^{\alpha}, obtendo
\Bigl(\frac{1}{x}+(a x^{2})^{\alpha}\Bigr)^{36} =\Bigl(\frac{1}{x}+a^{\alpha}x^{2\alpha}\Bigr)^{36},
e queremos que o termo independente de x nessa nova expansão seja o quinto termo. Nosso conteúdo é o Teorema binomial e a fórmula do termo geral.

Passo 2

Na expansão de \bigl(\tfrac{1}{x}+a x^{2}\bigr)^{36}, o termo geral de ordem k (começando em k=0) é
T_{k+1}=\binom{36}{k}\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)^{36 - k}\bigl(a x^{2}\bigr)^{k} =\binom{36}{k}a^{k}x^{- (36 - k)+2k} =\binom{36}{k}a^{k}x^{3k-36}.
Para que esse termo seja independente de x, exige-se
3k-36=0 \quad\Longrightarrow\quad k=12.
Como o índice do termo na expansão é k+1, o termo independente é o décimo terceiro termo.

Passo 3

Na nova expansão
\Bigl(\tfrac{1}{x}+a^{\alpha}x^{2\alpha}\Bigr)^{36},
o termo geral de ordem j é
T_{j+1}=\binom{36}{j} \Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)^{36-j}(a^{\alpha}x^{2\alpha})^{j} =\binom{36}{j}a^{\alpha j}x^{-(36-j)+2\alpha j} =\binom{36}{j}a^{\alpha j}x^{-36+j(1+2\alpha)}.
Queremos que esse termo seja independente de x e seja o quinto termo, ou seja j+1=5\Rightarrow j=4. A condição de independência dá
-36+4(1+2\alpha)=0 \quad\Longrightarrow\quad 4(1+2\alpha)=36 \quad\Longrightarrow\quad 1+2\alpha=9 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=4.

Resposta

d) Té o 13^{\circ} termo e o valor de \alpha é 4.

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