(UFRGS-13) Sobre uma mesa, há doze bolas numeradas de 1 a 12; seis bolas são pretas, e seis. brancas. Essas bolas serão distribuidas em 3 caixas distinguiveis, com quatro bolas cada uma. Escolhendo aleatoriamente uma caixa de uma dessas distribuições, a probabilidade de que essa caixa contenha apenas bolas pretas é
a) 1 / 33
b) 1 / 23
c) 2 / 33
d) 1 / 11

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos doze bolas distintas, seis pretas e seis brancas, distribuídas aleatoriamente em três caixas distinguíveis, quatro bolas em cada caixa. Em seguida escolhe-se ao acaso uma das caixas. A pergunta é qual a probabilidade de que ela contenha apenas bolas pretas. O conteúdo aqui é probabilidade combinatória, usando contagem de casos favoráveis e possíveis e simetria entre caixas.

Passo 2

Por simetria, cada caixa é “igual” antes de escolhermos qual vamos inspecionar. Logo, a probabilidade de a caixa escolhida ter só bolas pretas é igual à probabilidade de a caixa A (por exemplo) conter as quatro bolas pretas.

Passo 3

Para a caixa A, o número total de formas de escolher suas quatro bolas dentre as doze é
\binom{12}{4}.
O número de formas favoráveis é escolher justamente quatro bolas pretas dentre as seis disponíveis, ou seja
\binom{6}{4}.
Portanto
P(\text{caixa A só com pretas}) =\frac{\binom{6}{4}}{\binom{12}{4}}.ó

Passo 4

Calculando:
\binom{6}{4}=15, \quad \binom{12}{4}=495,
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P=\frac{15}{495}=\frac{1}{33}.

Resposta

a) \displaystyle \tfrac{1}{33}

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