(ITA-SP) Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que -2 i e i
são duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo-se
pelo polinômio
obtém-se resto zero e
. Então
é igual a:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado diz que
é um polinômio de grau
com coeficientes reais. São dadas duas raízes complexas:
e
. Como os coeficientes são reais, seus conjugados
e
também são raízes. Além disso,
é raiz (resto zero em
), totalizando
raízes. Precisamos de
. Para isso escreveremos
determinaremos
usando
e, em seguida, avaliaremos
.
Passo 2
Os fatores lineares correspondentes às raízes são:
- para
: , - para
:
- para
: .
Logo, em bloco,
Passo 3
Calculamos
:
logo
Como
, temos
Passo 4
Agora
. Avaliando em
:
então