(ITA-SP) Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que -2 i e i -raiz3 são duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo-se p(x) pelo polinômio q(x)=x-5 obtém-se resto zero e p(1)=20(5+2 raiz3). Então P(-1) é igual a:
a) 5(5-2 raiz3)
b) 15(5-2 raiz3)
c) 30(5-2 raiz3)
d) 45(5-2 raiz3)

Passo 1

O enunciado diz que p(x) é um polinômio de grau 5 com coeficientes reais. São dadas duas raízes complexas: -2i e i - raiz3. Como os coeficientes são reais, seus conjugados 2i e -raiz3-i também são raízes. Além disso, x=5 é raiz (resto zero em x-5), totalizando 5 raízes. Precisamos de p(-1). Para isso escreveremos
p(x)=kprodraízes(x-raiz), í
determinaremos k usando p(1)=20(5+2raiz3) e, em seguida, avaliaremos p(-1).

Passo 2

Os fatores lineares correspondentes às raízes são:
  • para pm 2i: x^2+4,
  • para -raiz3 pm i:
(x - (-raiz3 + i))(x - (-raiz3 - i)) = (x + raiz3 - i)(x + raiz3 + i) = (x + raiz3)^2 + 1,
  • para x=5: x - 5.
    Logo, em bloco,
p(x) = k ,(x - 5),(x^2 + 4),l((x + raiz3)^2 + 1r)

Passo 3

Calculamos p(1):
(1-5)=-4, (1^2+4)=5, (1+raiz3)^2+1=5+2raiz3,
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p(1)=kl(-4cdot5cdot(5+2raiz3)r)=-20k,(5+2raiz3)
Como p(1)=20,(5+2raiz3), temos
-20k,(5+2raiz3)=20,(5+2raiz3) Longrightarrow k=-1

Passo 4

Agora p(x)=- (x-5)(x^2+4)l((x+raiz3)^2+1r). Avaliando em x=-1:
(-1-5)=-6, ((-1)^2+4)=5,((-1+raiz3)^2+1)=5-2raiz3,
então
p(-1)=-l(-6cdot5cdot(5-2raiz3)r) =30,(5-2raiz3)

Resposta

30(5-2raiz3) (alternativa c)

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