(ITA-SP) Determine os valores do número complexo Z, diferente de zero, que satisfazem a equação
|rrri^8 & Z & i^2 0 & i^7 & Z i^5 & 0 & -barZ|=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de Zneq0 que satisfazem
i^8 & Z & i^2 0 & i^7 & Z i^5 & 0 & -Z =1
O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz com entradas complexas e potências de i. Vamos precisar simplificar as potências de i, calcular o determinante em função de Z e Z, e então resolver a equação resultante.

Passo 2

Primeiro simplificamos as potências de i:
i^2=-1, i^5=i^4+1=i, i^7=i^4+3=i^3=-i, i^8=(i^4)^2=1
Assim a matriz vira
1 & Z & -1 0 & -i & Z i & 0 & -Z

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
Cada menor é
Logo

Passo 4

Impondo De<a=1 obtemos
i,Z+iZ^2+1=1 Longrightarrow il(Z^2+Zr)=0 Longrightarrow Z^2+Z=0

Passo 5

Escrevendo
então
Separando partes real e imaginária:
Da segunda equação surgem dois casos:
Caso 1: , ou seja, . Como , descarta-se e fica . Logo .
Caso 2: .
Substituindo em
,
ou seja . Assim

Resposta

Zinl-1,;tfrac12+tfracraiz32,i,;tfrac12-tfracraiz32,ir

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