(UF-PE) Indique o valor do natural n, n>0, para o qual o polinômio n^2 x^2 n+1-25 n x^n+1+ +150 x^n-1 é divisível pelo polinômio x^2-1.

Passo 1

O enunciado pede para achar o natural n>0 tal que o polinômio
P(x)=n^2x^2n+1-25n,x^n+1+150,x^n-1
seja divisível por x^2-1. Como x^2-1=(x-1)(x+1), isso equivale a exigir
P(1)=0 e P(-1)=0

Passo 2

Calculemos P(1):
P(1)=n^2cdot1^2n+1-25ncdot1^n+1+150cdot1^n-1 =n^2-25n+150
A condição P(1)=0 leva à equação
n^2-25n+150=0

Passo 3

Resolvendo n^2-25n+150=0, o discriminante é
De<a = 25^2-4cdot1cdot150=625-600=25,
logo as raízes são
n=25pm52;Longrightarrow;n=10ou n=15

Passo 4

Agora calculemos P(-1) de forma geral. Note que
(-1)^2n+1=-1, (-1)^n+1=(-1)^ncdot(-1), (-1)^n-1=(-1)^ncdot(-1),
logo
P(-1) =-n^2-25n,(-1)^n+1+150,(-1)^n-1 =-n^2 +(-1)^n(25n-150)
Exigir P(-1)=0
-n^2+(-1)^n(25n-150)=0 Longrightarrow n^2 =(-1)^n(25n-150)

Passo 5

Testando os candidatos:
  • Para n=10 (par) temos (-1)^10=1 e n^2=100, 25n-150=250-150=100, 100 =1cdot100, ok.
  • Para n=15 (ímpar) temos (-1)^15=-1 e n^2=225, 25n-150=375-150=225, 225 neq -1cdot225, não vale.
Portanto, o único n>0 que funciona é

Resposta

10

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