(ITA-14) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z
\left\{\begin{array}{l}x+y+2 z=0 \\\\ -x+(\operatorname{sen} \theta) y+4 z=0 \\\\ 2 x+(1-\cos 2 \theta) y+16 z=0\end{array} \quad . \theta \in[0,2 \pi]\right..
a) Determine \theta tal que o sistema tenha infinitas soluções.
b) Para \theta encontrado em (a). determine o conjunto-solução do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo em (x,y,z)\) com parâmetro \(\theta\): \[\begin{cases} x+y+2z=0,\\\\ -x+(\sin\theta)\,y+4z=0,\\\\ 2x+(1-\cos2\theta)\,y+16z=0, \end{cases} \quad \theta\in[0,2\pi].
Conteúdo: sistemas lineares homogêneos. Para que haja infinitas soluções num sistema homogêneo A\mathbf{x}=0\] de \(3 equações e 3 incógnitas, basta ter \det A=0. Em seguida, para \theta que zera o determinante, faremos redução para achar o conjunto-solução.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ -1 & \sin\theta & 4\\\\ 2 & 1-\cos2\theta & 16 \end{pmatrix}
e impomos \det A=0.

Passo 3

Calculemos \det A por expansão na primeira linha:
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}\sin\theta&4\\\ 1-\cos2\theta&16\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&4\\\ 2&16\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}-1&\sin\theta\\\ 2&1-\cos2\theta\end{pmatrix}.
Cada menor dá
\det\begin{pmatrix}\sin\theta&4\\\ 1-\cos2\theta&16\end{pmatrix} =16\sin\theta-4(1-\cos2\theta),
\det\begin{pmatrix}-1&4\\\ 2&16\end{pmatrix} =-16-8=-24,
\det\begin{pmatrix}-1&\sin\theta\\\ 2&1-\cos2\theta\end{pmatrix} =-1\cdot(1-\cos2\theta)-2\sin\theta.
Somando e simplificando chega-se a
\det A =6\bigl(2\sin\theta+\cos2\theta+3\bigr) =-12(\sin\theta-2)(\sin\theta+1).

Passo 4

Para \det A=0 em [0,2\pi] só resta
\sin\theta=-1, ou seja
\theta=\tfrac{3\pi}{2}.

Passo 5

Em \theta=3\pi/2\) temos \(\sin\theta=-1\), \(\cos2\theta=\cos3\pi=-1\), logo o sistema vira \[\begin{cases} x+y+2z=0,\\\\ -x-y+4z=0,\\\\ 2x+2y+16z=0. \end{cases}
Da 1ª equação x=-y-2z\]. Substituindo na 2ª vem \[-(-y-2z)-y+4z=6z=0\implies z=0,\] e então \(x=-y. A 3ª é dependente. Logo a solução é
(x,y,z)=(-y,y,0)=t(-1,1,0),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

a) \theta=\tfrac{3\pi}{2}.
b) \{(x,y,z)=t(-1,1,0)\mid t\in\mathbb{R}\}.

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