(ITA-81) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais veriticou-se que os pontos \mathrm{A}=(\mathrm{a}, \mathrm{l}, \mathrm{a}); \mathrm{B}=(2 \mathrm{a}, \mathrm{l}, \mathrm{a}) e \mathrm{C}=(\mathrm{b}, \mathrm{a}, \mathrm{a}) são colineares. A lém disso, o sistema
\left\{\begin{array}{l} a x+b y=0 \\\ b x+y+z=0 \\\ b x+a y+b z=0 \end{array}\right.
nas incógnitas x, y e z é indeterminado.
Sendo a>0 e b>0, qual é a alternaliva correta?
a) a e b são números pares
b) \mathrm{a} \quad \mathrm{e} \quad \mathrm{b} sào números inteiros consecutivos
c) a nāo é divisor de b
d) 0<a<1 / 2 e 0<b<1
e) nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado dá os pontos
\displaystyle A=(a,1,a)\), \(\displaystyle B=(2a,1,a)\) e \(\displaystyle C=(b,a,a)\) colineares, e pede ainda que o sistema homogêneo
\[\begin{cases} a x + b y = 0,\\\ b x + y + z = 0,\\\ b x + a y + b z = 0 \end{cases}
seja indeterminado. Vamos usar (1) condição de colinearidade em \Bbb R^3\] e (2) condição de sistema homogêneo com infinitas soluções (\(\det=0).
Passo 2
Para que A,B,C sejam colineares, os vetores \displaystyle \overrightarrow{AB}=B-A=(2a-a,\;1-1,\;a-a)=(a,0,0)
e \displaystyle \overrightarrow{AC}=C-A=(b-a,\;a-1,\;a-a)=(b-a,a-1,0)
devem ser paralelos. Como a segunda componente de \overrightarrow{AB} é zero, precisamos de
a-1=0
logo
a=1.
Passo 3
O sistema tem matriz dos coeficientes
M = \begin{pmatrix} a & b & 0\\\ b & 1 & 1\\\ b & a & b \end{pmatrix}.
Para indeterminação basta \det M=0. Calculando
\det M = a\,(1\cdot b - 1\cdot a)\;-\;b\,(b\cdot b - 1\cdot b) = a(b-a)\;-\;\bigl(b^3 - b^2\bigr).
Substituindo a=1 obtém-se
\det M = 1\,(b-1) \;-\;(b^3 - b^2) = -\bigl(b^3 - b^2 - b +1\bigr) = -\,(b-1)^2\,(b+1).
Para \det M=0 e b>0 vem
b-1=0 \quad\Longrightarrow\quad b=1.
Passo 4
Concluímos que \displaystyle a=1 e \displaystyle b=1. Testando as alternativas:
a) não são pares;
b) não são consecutivos;
c) 1 divide 1;
d) a e b não estão nos intervalos dados.
Resposta
e) nenhuma das anteriores
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 38