(ITA-SP) Sejam P1 e P2 octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de
raio R. Sendo A1 a área de P1 e A2 a área de P2, então a razão A1A2 é igual a
a) raiz58
b) 9 raiz216
c) 2(raiz2-1)
d) (4 raiz2+1)8
e) (2+raiz2)4

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos dois octógonos regulares P1 e P2 relativos à mesma circunferência de raio R. O polígono P1 está inscrito na circunferência (ou seja, R é seu raio circunscrito) e P2 está circunscrito à circunferência (ou seja, R é seu raio inscrito). Queremos a razão A1A2, onde A1 e A2 são as respectivas áreas. Para isso, usamos as fórmulas de área de polígono regular em função de R:
– para o polígono inscrito, A = tfracn2R^2sinl(tfrac2pinr);
– para o polígono circunscrito, A = n,R^2tanl(tfracpinr).

Passo 2

Cálculo de A1 para o octógono inscrito ( n=8):
A1 = 82,R^2,sin!l(2pi8r) =4,R^2,sin!l(pi4r) =4,R^2,raiz22 =2raiz2,R^2

Passo 3

Cálculo de A2 para o octógono circunscrito ( n=8):
A2 = 8,R^2,tan!l(pi8r)
Como tanl(tfracpi8r)=tan(22,5^circ)=raiz2-1, vem
A2=8,R^2,(raiz2-1)

Passo 4

Agora a razão
A1A2 =2raiz2,R^28,R^2(raiz2-1) =2raiz28(raiz2-1) =raiz24(raiz2-1)
Multiplicando numerador e denominador por raiz2+1, obtemos
raiz2(raiz2+1)4l((raiz2)^2-1r) =2+raiz24

Resposta

2+raiz24 (alternativa e)

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