(ITA-SP) Determine o conjunto A formado por todos os números complexos
tais que
e
.
Passo 1
O enunciado pede o conjunto
de todos os
tais que
O conteúdo envolve manipular números complexos, trocar para uma nova variável
, usar a forma polar
e depois separar parte real e imaginária para resolver.
Passo 2
Defina
então
,
, e as partes do denominador ficam
A condição
vira
.
Passo 3
Substituindo na equação original:
Separe em dois termos:
Passo 4
Use a forma polar
com
e
. Então
Somando,
Igualando parte real e imaginária:
Passo 5
Da parte imaginária
, usando
:
Isso dá dois casos:
(i)
(ii) .
(ii)
Passo 6
Caso (ii) exige
e
, ou seja
, mas temos
, logo só vale se
e
, isto é
. No caso (i) com
a parte real
leva a . Assim a única solução é
leva a
Resposta
O conjunto procurado é