(ITA-SP) Determine o conjunto A formado por todos os números complexos z tais que barzz-2 i+2 zbarz+2 i=3 e 0<|z-2 i| <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto A de todos os zinC tais que
bar zz-2i ;+;2zbar z+2i=3 e 0<|z-2i|<=1
O conteúdo envolve manipular números complexos, trocar para uma nova variável w=z-2i, usar a forma polar w=re^itheta e depois separar parte real e imaginária para resolver.

Passo 2

Defina
w = z-2i,
então z = w+2i, bar z = bar w -2i, e as partes do denominador ficam
z-2i = w, bar z+2i = (bar w-2i)+2i = bar w
A condição 0<|z-2i|<=1 vira 0<|w|<=1.

Passo 3

Substituindo na equação original:
bar zz-2i + 2zbar z+2i = bar w-2iw + 2(w+2i)bar w =3
Separe em dois termos:
bar w-2iw = bar ww - 2iw, 2(w+2i)bar w = 2wbar w + 4ibar w

Passo 4

Use a forma polar w = r e^itheta com r>0 e thetainR. Então
bar ww = e^-2itheta, 2wbar w=2e^2itheta, -2iw=-2ire^-itheta, 4ibar w=4ire^itheta
Somando,
bar zz-2i + 2zbar z+2i = l(3cos2theta - tfrac6rsinthetar) +il(sin2theta + tfrac2rcosthetar) =3
Igualando parte real e imaginária:
3cos2theta - 6rsintheta = 3, sin2theta + 2rcostheta = 0

Passo 5

Da parte imaginária sin2theta + 2rcostheta=0, usando sin2theta=2sinthetacostheta:
2sinthetacostheta + 2rcostheta = 0 ;Longrightarrow; 2costhetal(sintheta + tfrac1rr)=0
Isso dá dois casos:
(i) costheta=0
(ii) sintheta = -tfrac1r.

Passo 6

Caso (ii) exige |sintheta|<=1 e tfrac1r<=1, ou seja r>=1, mas temos r<=1, logo só vale se r=1 e sintheta=-1, isto é theta=3pi/2. No caso (i) com theta=3pi/2 a parte real
,3cos2theta - tfrac6rsintheta=3(-1)-tfrac6r(-1)=3
leva a r=1. Assim a única solução é
w = e^3pi i/2 = -,i, z = w+2i = i

Resposta

O conjunto procurado é
A = ,i,

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