(ITA-99) Duas circunferências de raios iguais a 9 m e 3 m são tangentes externamente num ponto C. Uma reta tangencia estas duas circunferências nos pontos distintos A e B . A área, em \mathrm{m}^{2}, do triângulo ABC é:
a) 27 \sqrt{3}
b) 27 \sqrt{3} / 2
c) 9 \sqrt{3}
d) 27 \sqrt{2}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas circunferências de raios \,R=9\text{ m} e \,r=3\text{ m} cujos centros O_1 e O_2 estão a uma distância O_1O_2=R+r=12. Elas se tangenciam externamente no ponto C. Uma reta tangencia a de raio maior em A e a de raio menor em B. Queremos a área do triângulo ABC. Para resolver vamos usar:
  • Equação da reta tangente comum externa, obtida impondo distância centro–reta igual ao raio.
  • Comprimento do segmento de tangência AB.
  • Distância de C até a reta (altura do triângulo).
  • Fórmula da área \tfrac12\cdot AB\cdot h.

Passo 2

Determine a equação da reta tangente comum externa. Seja y=mx+b. A condição de tangência ao círculo de centro O_1=(0,0) e raio 9 é
\frac{\lvert b\lvert}{\sqrt{m^2+1}}=9,
logo b=9\sqrt{m^2+1} (reta acima dos círculos).
Para o círculo de centro O_2=(12,0) e raio 3, a condição
\frac{\lvert 12m+b\lvert}{\sqrt{m^2+1}}=3
torna-se, usando b>0,
\frac{12m+9\sqrt{m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}}=3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{12m}{\sqrt{m^2+1}}=-6 \quad\Longrightarrow\quad m=-\frac1{\sqrt3}.
Logo
b=9\sqrt{\frac13+1}=9\sqrt{\tfrac43}=6\sqrt3,
e a reta é
y=-\frac{x}{\sqrt3}+6\sqrt3.

Passo 3

Calcule AB. Uma forma rápida usa a fórmula do comprimento do segmento de tangência comum externa entre círculos de centros a distância d=12 e raios R e r:
AB=\sqrt{d^2-(R-r)^2} =\sqrt{12^2-(9-3)^2} =\sqrt{144-36} =6\sqrt3.

Passo 4

Encontre a altura h do ponto C até a reta. Como C=(9,0), a distância ponto–reta é
h =\frac{\bigl\lvert -\tfrac1{\sqrt3}\cdot9+6\sqrt3\bigr\rvert}{\sqrt{\tfrac13+1}} =\frac{\lvert -3\sqrt3+6\sqrt3\rvert}{2/\sqrt3} =\frac{3\sqrt3}{2/\sqrt3} =\frac{3\sqrt3\cdot\sqrt3}{2} =\frac{9}{2}.

Passo 5

Finalmente, a área de ABC é
\text{Área} =\frac12\;AB\;\times h =\frac12\;\bigl(6\sqrt3\bigr)\;\times \frac{9}{2} =\frac{6\sqrt3\cdot9}{4} =\frac{54\sqrt3}{4} =\frac{27\sqrt3}{2}.Á

Resposta

b) \displaystyle \frac{27\sqrt3}{2}

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