(ITA-99) Duas circunferências de raios iguais a 9 m e 3 m são tangentes externamente num ponto C. Uma reta tangencia estas duas circunferências nos pontos distintos A e B . A área, em \mathrm{m}^{2}, do triângulo ABC é:
a) 27 \sqrt{3}
b) 27 \sqrt{3} / 2
c) 9 \sqrt{3}
d) 27 \sqrt{2}
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos duas circunferências de raios \,R=9\text{ m} e \,r=3\text{ m} cujos centros O_1 e O_2 estão a uma distância O_1O_2=R+r=12. Elas se tangenciam externamente no ponto C. Uma reta tangencia a de raio maior em A e a de raio menor em B. Queremos a área do triângulo ABC. Para resolver vamos usar:
Equação da reta tangente comum externa, obtida impondo distância centro–reta igual ao raio.
Comprimento do segmento de tangência AB.
Distância de C até a reta (altura do triângulo).
Fórmula da área \tfrac12\cdot AB\cdot h.
Passo 2
Determine a equação da reta tangente comum externa. Seja y=mx+b. A condição de tangência ao círculo de centro O_1=(0,0) e raio 9 é
\frac{\lvert b\lvert}{\sqrt{m^2+1}}=9,
logo b=9\sqrt{m^2+1} (reta acima dos círculos).
Para o círculo de centro O_2=(12,0) e raio 3, a condição
Calcule AB. Uma forma rápida usa a fórmula do comprimento do segmento de tangência comum externa entre círculos de centros a distância d=12 e raios R e r: